2018_2019学年高中数学复习课（二）导数及其应用教案（含解析）北师大版

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1、复习课(二)　导数及其应用导数的概念及几何意义的应用(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现，一般难度较小．(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．[典例]　(2017·天津高考)

2、已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图像在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．[解析]　因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.[答案]　1[类题通法]利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．[注意]　曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在

3、(1,1)处的切线l与y＝x3的图像还有一个交点(－2，－8)．1．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为(　　)A．y＝3x－1　　　　　　B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1D．y＝－2x－1解析：选A　因为y′＝ex＋xex＋2，所以曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率k＝y′＝3，∴切线方程为y＝3x－1.2．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为(　　)A.B.C.D.解析：选D　y＝x3－1⇒y′＝3x2，y＝3－x2⇒y′＝－x，

4、由题意得3x·(－x0)＝－1，解得x＝，即x0＝＝，故选D.导数与函数的单调性题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。函数的单调性与导函数值的关系若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.f′(x)＞0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递减．反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增

5、⇒f′(x)≥0；函数f(x)在(a，b)上单调递减⇒f′(x)≤0.即f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．[典例]　(2017·全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x，讨论f(x)的单调性．[解]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＜0，则当x∈时，f′(x

6、)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减．[类题通法]求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．[注意]　求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．1．函数f(x)＝2x2－lnx的递增区间是(　　)A.　　　　　　　B.和C.D.和解析：选C　由题意得f′(x)＝4x－＝，且x>0，由f′(x

7、)>0，即4x2－1>0，解得x>.故选C.2．已知函数f(x)＝－x2＋2x－aex.(1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝－x2＋2x－ex，则f(1)＝－×12＋2×1－e＝－e，f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x＋.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∵f(x)＝－x2＋2x－

8、aex，∴f′(x)＝－x＋2－aex，于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，即a≤在R上恒成立，令g(x)＝，则g′(x)＝，令g′(x)＝0，解得x＝3，列表如下：x(－∞，3)3(3，＋∞)g′(x)－0＋g(x)减极小值－增故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值，即g(x)min＝－，所以a≤－，即实数a的取值范围是.导数与函数的极值