2018_2019学年高中数学回扣验收特训（二）推理与证明（含解析）北师大版

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1、回扣验收特训（二）推理与证明1．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的大前提是(　　)A．增函数的定义B．函数y＝x3满足增函数的定义C．若x1x2，则f(x1)>f(x2)解析：选A　根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数y＝x3是增函数的大前提应是增函数的定义．2．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)A．an＝3n－2　　　　　　　B．an＝

2、n2C．an＝3n－1D．an＝4n－3解析：选B　求得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.3．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为(　　)A.＋＋＝1B.＋＋＝1C.＋＋＝1D．ax＋by＋cz＝1解析：选A　类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)

3、A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A　至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能

4、用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是(　　)A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A　分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心

5、，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝(　　)A．1　　　B．2　　C．3　　　　  D．4解析：选C　如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4××r＝××⇒r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3.7．观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平

6、方和，所以“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.答案：1838.如图，圆环可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×.所以圆环的面积等于以线段AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，若将平面区域M＝{(x，y)

7、(x－d)2＋y2≤r2}(其中0

8、：平面区域M的面积为πr2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r的圆为底面，以圆心为O、半径为d的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d.答案：2π2r2d9．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是　　　　.解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4

9、为公差的等差数列，所以Sn＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n，所以S7＝2×72－7＝91.答案：9110．已知

10、x

11、≤1，

12、y

13、≤1，用分析法证明：

14、x＋y

15、≤

16、1＋xy

17、.证明：要证

18、x＋y

19、≤

20、1＋xy

21、，即证(x＋y)2≤(1＋xy)2，即证x2＋y2≤1＋x2y2，即证(x2－1)(1－y2)≤0，因为

22、x

23、≤1，

24、y

25、≤1，所以x2－1≤0,1－y2≥0，所以(x2－1)(1－y2)≤0，不等式得证．11．已知：sin230°＋sin290°＋si