电动力学第二章第4节

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1、§2.4镜象法主要内容:1、镜象法的基本概念2、求解电势的基本方法求解泊松方程的难度、镜象法的概念和适用条件一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。QQ2.以唯一性定理为依据在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。镜象法概念、适用情况镜象法：用假想点电荷来

2、等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。适用情况：所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。c)给定边界条件注意：a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q大小不能变）。所以假想电荷必须放在所求区域之外。b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。四、应用举例接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。QQ/Pz解：根据唯一性定理左

3、半空间右半空间，Q在（0，0，a）点，电势满足泊松方程。边界上从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间z轴上。设电量为，位置为（0，0，）由边界条件确定和、唯一解是因为象电荷在左半空间，所以舍去正号解讨论：（a）导体面上感应电荷分布（b）电荷Q产生的电场的电力线全部终止在导体面上它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。（c）与位置对于导体板镜象对称，故这种方法称为镜象法（又称电象法）（d）导体对电荷Q的作用力相当两点电荷间的作用力解：（1）分析：因导体球接地故球的电势为零。根据镜象法原则假想电荷应在球内。因空间只有两个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应在线

4、上，即极轴上。真空中有一半径R0的接地导体球，距球心a>R0处有一点电荷Q，求空间各点电势。球坐标系PROZ（2）由边界条件确定和设因任意的解得①②①，因此Q发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余传到无穷远。②球面感应电荷分布（3）讨论：导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷移到地中去了。（4）若导体不接地，可视为分布在导体面上。不接地导体已为等势体，加上还要使导体为等势体，必须均匀分布在球面上。这时导体球上总电量（因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷产生的电势）。（5）若导体球不接地，且带上自由电荷，导体上总电荷为，此时要保持导体为等势体，也应均匀分布在球面上。

5、等效电荷一般是一个点电荷组或一个带电体系，而不一定就是一个点电荷。（6）导体球不接地而带自由电荷时所受到的作用力可以看作与及位于球心处的等效电荷的作用力之和。设，，第一项为排斥力，第二项为吸引力（与无关，与正负无关）。当时，F<0，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时会出现相互吸引。3．有一点电荷位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间的电势。假想电荷应在第I象限之外。要保证互相垂直的两个接地导体板的电势同时为零，应当放几个电荷？解：（1）分析：Q（-a,-b,0）-Q（a,-b,0）xyOQ（a,b,0）-Q（-a,b,0）S2S1Q（2）电

6、势分布放在处用镜象法求解的条件是什么？（3）若两平面夹角象电荷数4．另外几种容易求解又常见的情况：