《电动力学第二章》PPT课件

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1、第二章静电场§1静电场的标势及微分方程§2唯一性定理§3拉普拉斯方程分离变量法§4镜像法§6电多极矩电动力学第二章本章研究的主要问题：本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。§1静电场的标势及微分方程无旋有势，定义:或静电场不随时间变化为无旋场1。静电场的标势库仑场电势差积分与路径无关当电荷分布在有限区域的情况下，取无穷远点为参考点，规定其上电势为0点电荷静电场标势叠加原理连续分布已知电荷分布求电势全空间电荷为0，库仑场的标势为0解：例1求均匀电场的电势。均

2、匀电场每一点强度相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为，那么任一点P处的电势为若选ϕ0=0，则有例2：真空中均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为，求电势。由查表得p点的电势为设场点p到导线的距离为R，电荷元到p点的距离为，电势由公式求得p点和p0的电势差2。静电势的微分方程静电场标势泊松方程3。静电场能将换成的公式其中不代表能量密度电荷在外场中的电势能、静电场能当带电体为一点电荷电荷在外场中，电荷的场和外场的叠加外场场能点电荷场能两场能交叉项电荷在外场中的势能静电场标势由边界条件a.边界条件静电势的微分方程导体的静电条件归结为：①导体内部不带电，

3、电荷只能分布于导体表面上。②导体内部电场为零。③导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。§1静电场的标势及其微分方程1。静电场标势2。静电势的微分方程a.一般介质的边界条件b.导体的静电条件静电场的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系的泊松方程的解§2唯一性定理1。静电问题的唯一性定理若在有限的边界区域V内有几种均匀绝缘介质，V内的自由电荷分布为已知，那么当V的边界面S上满足一定边界条件时,静电场方程有唯一确定的解。证明：设有两组不同的解和满足唯一性定理的条件，令在每个均匀区域内，有：在任意两均匀区域的界面上，有：在整个区域的边界上，有：或

4、考虑第i个均匀区域V的界面S上的积分对所有分区求和，得2。有导体时的唯一性定理只需给出①每个导体的值或②每个导体上的电量证明：考虑去掉导体后的绝缘介质区域第一种情况：给出了第一类边界条件第二种情况：对导体表面有§2唯一性定理1。静电问题的唯一性定理2。有导体时的唯一性定理唯一性定理说的是只要物理问题满足区域内的电荷分布和边界条件相同，它们的解就是等价的，就都是问题的解，没有区别，其解唯一。换句话说：只要保证问题条件不变，怎么求都行！！！因此，在实际问题中，可以根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解，只要它满足唯一性定理所要求的条件，它就是唯一正确的解。例题（注：用唯一性定

5、理解题）如图，两同心导体球壳之间充满两种介质。左半边电容率为，右半边电容率为，设内球带电量Q，外球壳接地。求空间的电场和球壳上的电荷分布。分析两介质面在球的方向。且这样可取假设E球对称设：这样可满足E在切向连续电荷分布满足了，总边界条件满足了，内部边界满足了，由解的唯一性定理保证，上面得到的结果就是问题的解。静电势方程边界条件导体的静电条件①②③静电问题的唯一性定理静电场的方程及边界条件静电问题有解的条件：求解区域V内给定自由电荷分布ρ(x)，在V的边界S上给定（i）电势（ii）电势的法向导数或则V内的电场唯一地确定。若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电势或导体上

6、的电荷。例如：①电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的。②电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的。这些问题的特点是：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布。在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．一、拉普拉斯方程如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界，则V内部自由电荷密度ρ＝0，电势所满足的泊松方程化为比较简单的情形：注意：求解区域内ρ＝0，产生电场的电荷全部分布于V的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。所以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的解。这就是拉普拉斯方程。二、分离变量法分

7、离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实际问题的的解。不同坐标系中拉氏方程的通解不同。1.球坐标：若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为若问题具有球对称性其中2.柱坐标：若u与z无关，转化为二维极坐标中的问题拉普拉斯方程极坐标圆域通解若轴对称，设：球半径为，球外为真空，该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外场方向的轴线。取此线为轴线，球心为原点建立球坐标系。以原点为电势0点，为球外势，为球内势能§3拉普拉斯方程——分离变量法例2：电容