用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程

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1、Dec.20Mon.Review特殊情形1).当不是特征根时，则特解具有形式2.当是特征根时，则特解具有形式§9用常数变易法求解二阶非齐次方程基本思想：对应齐次方程的通解例求的通解；解方程若已知齐次方程的一个不恒为零的解hw：p3015,8.§9欧拉方程EulerEquation欧拉方程常系数线性微分方程欧拉方程的算子解法:则计算繁!则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程转化为常系数线性方程:例1.解:则原方程化为亦即其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程①①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入①确定系数,得例2

2、.解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即②特征根:设特解:代入②解得A=1,所求通解为例3.解:由题设得定解问题③则③化为特征根:设特解:④⑤代入⑤得A＝1得通解为利用初始条件④得故所求特解为hw：p3192,4.EulerEquation：一类特殊变系数非齐次线性微分方程解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．令将方程转化为常系数微分方程。将自变量换为用表示对自变量求导的运算上述结果可以写为将上式代入欧拉方程，则化为以为自变量的常系数线性微分

3、方程.求出这个方程的解后，把换为，即得到原方程的解.一般地，例求欧拉方程的通解．解作变量变换原方程化为即或(1)方程(1)所对应的齐次方程为其特征方程特征方程的根为所以齐次方程的通解为设特解为代入原方程，得所给欧拉方程的通解为例hw：p3192,4.欧拉方程解法思路变系数的线性微分方程常系数的线性微分方程变量代换注意：欧拉方程的形式．