《随机分析》PPT课件

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1、第5章　随机分析5.1二阶矩随机变量空间的基本性质5.2随机过程的均方极限与均方连续5.3随机过程的均方导数5.4随机过程的均方积分课后作业的统计特征.5.1二阶矩随机变量空间的基本性质泛的应用.二阶矩过程是一类重要的随机过程，在物理、生物、通讯与控制、系统工程与管理科学等方面，有广许多实际问题通过对二阶矩的讨论就足以了解过程二阶矩的随机变量的全体组成的集合为二阶矩随机变量空间.定义称定义在概率空间上的具有有限若,则称X与Y相等，定理1H是一个线性空间,即设X,Y∈H,则对任意证明由许瓦兹不等式引理1可知证明由许瓦兹不等式易证(1),在(1)中取Y=1得(2).引理2如

2、上定义的‖·‖是范数,即有证明(1)和(2)显然.下面证(3).(3)

3、

4、X+Y

5、

6、2=E

7、X+Y

8、2≤E

9、X

10、2+2E

11、XY

12、+E

13、Y

14、2非负性齐次性三角不等式定理2对任意X,Y∈H,令则d(X,Y)是H中的距离.即对任意X,Y,Z∈H,有非负性对称性三角不等式综上可知，H构成一个线性赋范空间.由此可知，H构成一个距离空间.由引理2易知下面的定理成立.定义设Xn,X∈H，n=1,2,•••,如果称Xn均方收敛于X,均方极限具有唯一性,即定理3(柯西均方收敛准则)H中随机变量序列{Xn}二重极限证明仅证必要性.均方收敛的充要条件为这个定理说明H是完备的线性赋

15、范空间.均方收敛基本列或柯西列柯西均方收敛准则亦称为二阶矩随机变量空间H的完备性定理.例1考察下面的相互独立随机变量序列的均方收敛性.解为μ，方差为1，定义证明例2设是相互独立同分布随机变量序列，均值定理4(均方极限的线性性质)随机变量序列的均方极限性质证明定理5(均方极限的数字特征)证明1）仅证实随机变量的情形.在1）中令Yn≡1，得2).在1）中令Yn≡Xn，得3).由1）与2)可证4).数列，方差数列及特征函数列也收敛.小结随机变量序列{Xn}均方收敛,其相应的数学期望定理6(洛易夫均方收敛判别准则)将随机变量序列的均方收敛性转化为自相关函数的证明必要性.由定理5之

16、1)即得.由柯西均方收敛准则知{Xn}均方收敛.存在.极限随机变量序列均方收敛的充分必要条件是收敛性问题.由均方收敛准则知例3均方收敛的条件.随机变量序列解例4的均方极限服从泊松分布.证明由定理5之2）可知，亦即X服从泊松分布.又由定理5之5）可知本节将随机变量序列的均方收敛定义及前述各定理5.2随机过程的均方极限与均方连续推广到连续参数集的情形，并引进均方连续的概念.定义洛易夫均方收敛准则的推论柯西收敛准则的推论定义定理1(均方连续准则)证明由均方连续的定义和洛易夫均方收敛准则可得角线上连续,则它在上连续.均方连续准则的意义及两个重要结论二阶矩过程在上均方连续等价

17、于其相关函二阶矩过程的相关函数在的对数在的对角线上连续.由均方极限的乘积性质可得证明反之显然真.ots两个重要结论的几何说明二阶矩过程的均方连续可由其相关函数的普通意义下的连续性来确定.例5为参数为λ的泊松过程,则N(t)to泊松过程的每一条样本函数都是跃度为1的阶梯函数.均方连续过程的样本函数可能不连续.样本函数？例6为参数为σ2的维纳过程,则其自相关函数显然其对任意t≥0在(t,t)处连续，维纳过程均方连续.均值函数自相关函数定理2若二阶矩随机过程{X(t),t∈T}均方连续，则其均值函数、方差函数也在T上连续.证明留作作业.则称X(t)在t处均方可微(可导)，称

18、Y为X(t)在t处的5.3随机过程的均方导数定义均方导数,记为其均方导数过程仍是二阶矩过程.类似地,可定义的均方导数过程将随机过程的均方导数转移到实数域进行讨论分析,引进广义二阶导数概念.定义函数f(s,t)称为在(s,t)处广义二阶可微,若极限存在,称此极限为f(s,t)在(s,t)处的广义二阶导数.广义二阶导数是二重极限,而二阶混合偏导是二次极限,一般情况下二者不相等.命题若二元函数f(s,t)关于s,t的一阶偏导存在,二阶定理1(均方可微准则)广义二阶导数为混合偏导存在并连续,则f(s,t)一定是广义二阶可微的且二阶矩过程在处均方可微的充要条件是它的相关函数在处广义二

19、阶可微.证明留作作业.证明由均方收敛定义及准则可知,{X(t),t∈T}在t0处均方可微二阶矩过程的相关函数推论证明证明证明提示相关函数的其广义二阶导数为例7证明解X(t)的自相关函数为例8证明均方可导必均方连续.性质1其逆不真.性质2证明由均方极限的惟一性可得.均方导数在概率为1的意义下惟一.均方导数具有线性性.{aX(t)+bY(t),t∈T},a,b∈C证明记性质3若X(t),Y(t)均方可微，则也均方可微,且性质5是均方可微过程,则也是可微过程,且性质4具有相等均方导数的两个随机过程，它们最多仅相差一个随机