数学建模生物种群模型

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1、生物种群模型朱建青（苏州科技学院信息与计算科学系）生物种群模型一、两种群模型二、种群的相互竞争模型三、捕食者与被捕食者模型四、三种群模型一、两种群模型设x（t）、y（t）分别表示两种群在t时刻的数量或密度，建立模型时考虑各自的相对增长率需要考虑到种内自身的发展规律和种间相互作用的影响两个方面，故常用的形式为或伏特拉（V.Volterra）模型其中，分别为种群x、y的固有增长率，其正负由它们各自的食物来源而确定，例如当x种群的食物是y种群以外的自然资源时，；而x种群仅以y种群的生物为食时，。反映的是各种群内部的密度制约因素，即种内竞争，故。

2、1.相互竞争型：两种群或者互相残杀，或者竞争同一种食物资源，各自的存在对对方不利，故；2.互惠共存型：即两种群的存在，都对对方有利，对对方的数量起增长促进作用，则。3.捕食与被捕食型：即种群y以种群x为食物来源，这时种群x的存在对种群y的增长有利，而y对x不利，故。的正负要根据这两种群之间相互作用的形式而定，一般分为以下三种情况。二、种群的相互竞争模型根据上面的分析，相互竞争模型的一般形式为其中参数全是正数，具体分析：x、y遵从Logistic规律，是它们的固有增长率，是它们的最大容量，于是的意义：单位数量y（相对而言）消耗的供养x的食物

3、量为单位数量x（相对而言）消耗的供养x的食物量的倍。（竞争能力）从而得相互竞争模型类似地，可得稳定性分析：由微分方程的稳定性理论，方程组的平衡点求解可得平衡点稳定性的判断，结果如图所示处于同一自然环境中的种群有一种有趣的生存方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙则靠掠食甲为生。如地中海里的食用鱼与鲨鱼，加拿大森林中的美洲兔与山猫，阿尔卑斯山中的落叶松与芽虫等都是这种生存方式的典型，生态学上称种群甲为食饵（Prey），称种群乙为捕食者（Predator），二者共处组成食饵-捕食者系统（简称P-P系统）。20世纪初以来一些生态学家、数学家

4、对这个系统的数学模型和它的解的性质的研究，一直保持着浓厚的兴趣。三、捕食者与被捕食者模型一次世界大战期间地中海某港口捕获鲨鱼的比例历史背景伏特拉模型食饵x和捕食者y遵从Malthus规律伏特拉模型其中反映捕食者掠取食饵的能力。其中反映食饵对捕食者的供养能力。模型分析平衡点按照判断平衡点稳定性的方法，发现不能判断平衡点R是否稳定，下面用分析相轨线的方法来解决这个问题。相轨线积分得是第一象限的正定函数，且时是包围点的闭轨线。改写成记其中闭轨线对应着方程的周期解，记周期为T，周期解增减性由闭轨线的方向决定。可以看出，食饵的变化比捕食者提前了。一

5、周期T内的平均值作为食饵和捕食者数量的近似度量，即得这表明食饵和捕食者在平衡点R的值正好代表了它们的（平均）数量。从x、y的值可以看到，食饵的数量取决于模型的两个参数r2和λ2，而捕食者的数量取决于模型的另两个参数r1和λ1。当食饵的自然增长率r1下降时，捕食者的数量将减少，这就是说，在弱肉强食情况下降低弱者的繁殖率可以使强者减少，而当捕食者掠取食饵的能力λ1提高时也会使捕食者减少。另一方面，捕食者死亡率r2的下降，或者食饵对捕食者供养能力λ2的提高，都将导致食饵的减少。模型解释现回答开头提出问题，在上述结果的基础上考虑人工捕获的影响。设

6、表示捕获能力的系数为，战争时期捕获能力的下降得x、y遵从Logistic规律三种群相互作用的情况要比二种群作用的情况复杂，但建立模型的规律基本上相同，既要考虑种内的增长，也要考虑种间的相互作用。建立模型时，考虑各种群的相对增长率，然后假设线性的相互作用关系，就可得三种群相互作用的伏特拉模型。设x（t）、y（t）、z（t）分别表示t时刻三种群的数量，则一般形式的伏特拉模型四、三种群模型伏特拉模型其中参数的符号要根据所考察的种群的相互作用关系而定，每两个种群之间相互作用的基本关系有：捕食与被捕食者、寄生物与寄主、竞争及互惠共存等。由于三种群的

7、两两关系不同的各种组合，就产生许多不同类型的数学模型。为了叙述方便，用下列符号来表示种群之间的关系。例1三种群的关系如右图所示，建立其伏特拉模型。解例2捕食链如右图所示，建立其伏特拉模型。解数学模型为解数学模型例3三种群竞争且各自受密度制约，如右图所示，建立其伏特拉模型。