轮复习名师首选第13章75《不等式的证明》

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1、学案75　不等式选讲(二)不等式的证明导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.2.会用比较法、综合法、分析法、数学归纳法证明比较简单的不等式．自主梳理1．证明不等式的常用方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是____与0比较大小或____与1比较大小．(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或________，经过推理论证，最终指导出所要证明的不等式成立．(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的________条件，到将待证

2、不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．(4)反证法①反证法的定义[来源:学_科_网Z_X_X_K]先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．②反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．(5)放缩法①定义：证明不等式时，通过把不等式的一边适当地________或_

3、_______以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立．这种方法称为放缩法．②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．(6)数学归纳法与自然数有关的不等式可考虑用数学归纳法证明．自我检测1．已知M＝a2＋b2，N＝ab＋a＋b－1，则M，N的大小关系为________．2．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则实数a，b应满足的条件为______________．3．若a>0，b>0，给出下列四个不等式：①a＋b＋≥2；②(a＋b)(＋)≥4；③≥a＋b；④a＋≥－2.其中正确的序号

4、为______________．4．用数学归纳法证明(1＋)(1＋)(1＋)…(1＋)>(k>1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上________．这个乘上去的代数式共有因子的个数是________．5．用数学归纳法证明≥()n(a，b是非负实数，n∈N)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是______________．探究点一　比较法证明不等式例1　已知a>0，b>0，求证：＋≥＋.[来源:Zxxk.Com]变式迁移1　设不等式

5、2x－1

6、<1的解集为M.①求集合M；②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．探究点二　用

7、综合法证明不等式例2　设a、b、c均为正数，求证：＋＋≥＋＋.变式迁移2　设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.探究点三　用分析法证明不等式例3　已知a>b>0，求证：<－<.变式迁移3　已知a>0，求证：－≥a＋－2.探究点四　数学归纳法例4　用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>(n≥2)．变式迁移4　用数学归纳法证明

8、f(1)

9、、

10、f(2)

11、、

12、f(3)

13、中至少有一个不小于.多角度审题　已

14、知f(x)，要证f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，只需化简左边式子，看是怎样的形式，然后才能视情况而定如何证明．求证

15、f(1)

16、、

17、f(2)

18、、

19、f(3)

20、中至少有一个不小于包括：

21、f(1)

22、、

23、f(2)

24、、

25、f(3)

26、中有一个大于等于，其余两个小于；三个中有2个大于等于，另一个小于；三个都大于等于.如果从正面证明，将有7种情况需要证明，非常繁杂，可考虑用反证法证明．【答题模板】证明　(1)∵f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.[2分](2)假设

27、f(1)

28、

29、、

30、f(2)

31、、

32、f(3)

33、都小于，则

34、f(1)

35、＋2

36、f(2)

37、＋

38、f(3)

39、<2，[4分]而

40、f(1)

41、＋2

42、f(2)

43、＋

44、f(3)

45、≥

46、f(1)＋f(3)－2f(2)

47、＝2，与假设矛盾．[9分]∴

48、f(1)

49、、

50、f(2)

51、、

52、f(3)

53、中至少有一个不小于.[10分]【突破思维障碍】根据正难则反的证明原则，

54、f(1)

55、、

56、f(2)

57、、

58、f(3)

59、至少有一个不小于的反面为

60、f(1)

61、、

62、f(2)

63、、

64、f(3)

65、都小于，所以用反证法证明只有一种情况，如果这一种情况不成立，则原命题成立．【易错点剖析】在证明(2)中如果不知道用反证法证，而是从正面分

66、七种情况证明，往往会出现这样或那样的失误．[来源:学科网ZXXK]1．证明不等式的常用方法有六种，即比较法、分析法、综合法