2009中考数学几何证明压轴题

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1、2009年中考数学几何证明、计算题汇编及解析1、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.(1)求证:DC=BC;(2)E是梯形内一点,F是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状,并证明你的结论;(3)在(2)的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE的值.[解析](1)过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.(2)等腰三角形.证明:因为.所以,△DEC≌△BFC所以,.所以,即△ECF是等腰直角三角形.

2、(3)设,则,所以.因为,又,所以.所以所以.2、已知:如图,在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.[解析](1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD.∵点E、F分别是AB、CD的中点,∴AE=AB,CF=CD.∴AE=CF∴△ADE≌△CBF.(2)当四边形BEDF是菱形时,四边形AGBD是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∵AG∥BD,∴四边形AGBD

3、是平行四边形.∵四边形BEDF是菱形,∴DE=BE.∵AE=BE,∴AE=BE=DE.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴2∠2+2∠3=180°.∴∠2+∠3=90°.即∠ADB=90°.∴四边形AGBD是矩形3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.(1)如图13-2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜

4、想;图13-1A(G)B(E)COD(F)图13-2EABDGFOMNC(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.图13-3ABDGEFOMNC[解析](1)BM=FN.证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=∠F=45°,OB=OF.又∵∠BOM=∠FON,∴△OBM≌△OFN.∴BM=FN.(1)BM=FN仍然成立.(2)证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是

5、正方形,∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF.∴∠MBO=∠NFO=135°.又∵∠MOB=∠NOF,∴△OBM≌△OFN.∴BM=FN.4、如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5。(1)若,求CD的长;(2)若∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留)。[解析](1)因为AB是⊙O的直径,OD=5所以∠ADB=90°,AB=10在Rt△ABD中,又,所以,所以因为∠ADB=90°,AB⊥CD所以所以所以所以(2)因为AB是⊙O的直径,AB⊥CD所以所以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD

6、因为AO=DO,所以∠BAD=∠ADO所以∠CDB=∠ADO设∠ADO=4x,则∠CDB=4x由∠ADO:∠EDO=4:1,则∠EDO=x因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°所以所以x=10°所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°所以∠AOC=∠AOD=100°5、如图,已知:C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.(1)求证:点F是BD中点;(2)求证:CG是⊙O的切线;(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径.[解析](1)证明:

7、∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF∴,∵HE=EC,∴BF=FD(2)方法一:连接CB、OC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°∵F是BD中点,∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′方法二:可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)(3)解:由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC可证得:FA=FG,且AB=BG由切割线定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2在Rt△BGF中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2 由、得:FG2-4FG-12=0解之

8、得:FG1

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