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1、中国科学数学年第卷第期《中国科学》杂志社卜卜离散外微分与计算电磁学谢正①,马玉杰②,叶征③①浙江大学数学中心,杭州②中国科学院数学机械化中心,北京③浙江大学计算机学院,杭州一滋￡,￡￡,￡收稿日期一一接受日期一一通信作者国家自然科学琴金批准一号资助项日摘要计算电磁学的核心之一是数值求解方程组适当的离散方式是保证结果能真实反映物理现象的关键为了在离散的过程中保持该方程组的几何性质,我们建立了基于棱柱网格的系数为的格点规范理论,其离散曲率满足相应的恒等式通过适当定义离散微分形式之间的内积和棱柱网格上的星算子,我们由离散变分导出源方程和连续性方程,和恒等式一起称为真空中的离散方程组这组方程是内蕴的
2、,并具有规范不变性关键词计算电磁学离散外微分格点规范,方程组主题分类,,引言计算电磁学的核心之一是数值求解方程组该方程组具有儿何意义,可以用微分形式将其写为一,占一工其中是底为维时空的主从的曲率形式,占分别为外微分算子和余微分算子为电流形式关于方程的求解己有许多重要的工作‘一年,‘引入了对时间区域的有限差分格式,称之为格式这个非常实用的格式在现代计算电磁学,特别是求解微波问题领域,被广泛使用尽管格式不是高精度算法,但是它保持了方程的许多重要的结构性质,由于许多方法不具备这一特点所以人们仍然在许多领域中采用该格式年,等人用离散外微分方法一将的工作推广到维平直时空的非结构化网格情况,他们导出的格
3、式保持了真空中的方程的多辛结构本文中,我们用离散外微分方法将格式推广到空间为流形的情形。基于棱柱网格的系数为的格点规范理论其离散联络为一个从离散微分形式到的映射对离散联络作离散外微分后所得的形式称为离散曲率这个曲率的恒等式为离散方程组的子集这些结论可以推广到矩形、三角形和任意正多边形组成的非平坦网格上·对于有源情形,我们适当的定义了离散微分形式之间的内积和泛函,通过离散变分求得源方程和连续性方程,和恒等式一起称为离散方程组这些方程具有多辛性质和规范不变性,其规范群为这组方程不依赖于整体坐标,只依赖于单形的边民和角度引用格式,,,,一谢谁等离散外微分与计算电磁学本文中的方法在大线上的应用参看文
4、献本文中提出的离散格式的广义情形、稳定性、条川精度、误差分析等参看文献预备知识棱柱网格棱柱网格和单纯复形类似,但是它不仅仅有单形还有棱柱令一抓一冰‘习⋯一械为标准的尹单形,,是重心坐标棱柱是单形的乘积△。。二一△。⋯△二对于一般的弯曲时空而言,我们不能确保重心在单形里如果时空能分解为维流形和时间的直积,则此空间可以用棱柱网格来离散化,并且满足底空间可以有四茵体网格来离散化,其中每个茵都是锐角三角形离散外微分对于紧致的光滑流形,可以用局部可定向的单形离散化,离散外微分将定义在这个离散化的复形上为了保证数值模拟的准确性,我们要求每个三角形是锐角的离散微分人形式,无任,为无单形上的赋值函数对偶形式
5、,也就是说,为对偶网格上的赋值函数而对偶网格的儿何实现要用到单形的重心对偶顶点一卜茵定义我们使用的对偶单形这里要求重心在单形内对偶边是链接对偶顶点过该茵边中点的折线段,线段将穿越两个相应的四茵体三角形共有的茵边的外心中点对偶茵为边顶点在每个相邻的三角形中的单形拼成的折茵这些离散微分形式是离散外微分的基本对象基于这些对象可以定义下茵的两个算子·离散外微分算子重载定义,这个算子是无形式映到无形式·星算子重载定义,这个算子将主原来的单形映射到对偶单形离散的和算子都可以用和表示,一,△一一‘尹尹汰棱柱网格上的格点规范理论棱柱网格上的令盯为维流形的四茵体网格剖分考虑棱柱网格盯该网格上的单形构造如下△。
6、。,△。。,。,,△。。,。,。,。。,△,△。,⋯,△。,。,。,。。△现在我们来定义棱柱网格上的离散外微分算子和星算子算子重载定义棱柱网格复形上边缘算子的定义是己知的算子定义为边缘算子的转置星算子重载定义令几。。,,。。任几。。,,。、△为棱柱网格上的离散微分形式,,算子的定义如一卜中国科学数学第卷第期几。。,,。、一△几。。,,。、八几岁几△。,,无几。。,,。、△△△。卫。几。。,,。,几一二弓先一二兰已少△凸川其中等式的右边的,算子是维网格上的算子△为△的度量,△。,,为△。,,的度量离散联络与曲率对电磁场而言,通常的规范群是州,但是我们可以选用它的代数现在我们来定义以棱柱空间为底
7、,纤维为的离散向量从的联络和曲率离散规范场或者联络为一个将离散形式映到规范群中的一个线性映射、这样联络可以表示为△,几,,其中△为单形,几,为单形上的离散微分形式,△,为该单形在中的赋值离散曲率形式正好就是将所有离散形式加起来,然后作离散外微分得到离散形式几一廿艺儿￡几·△,任其中为所有棱柱网格上的单形的集合形式几在每个小块上的限制的值正好就是该小块的联络所生成的群注意到这里的规范群是交换的,我们不需要对闭路
