排列组合问题(教案

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1、排列组合习题课高志才§4简单计数问题排列组合应用题的主要类型和常用方法排列组合应用题大致可分为三大类：不带限制条件的排列或组合题，带有约束条件的排列或组合题；排列与组合的综合题．解此类问题常用的方法有：(1)相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，就是将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列，分作两步．(2)元素间隔排列应用题，一般采用“插空法”．(3)含有特殊元素和特殊位置的排列，组合应用题，常采用“特殊元素法”，从元素为主出发，先安排特殊元素；从位置为主出发，先安排好特殊位

2、置上的元素，结合排除法解决此类问题．(4)指标问题采用“隔板法”．(5)有关“分堆”与“到位”应用问题常采用“分组法”与“分配法”．若只分堆，不指定到具体位置，则需注意平均分的情况．(6)相邻类排列应用题常采用“捆绑法”解决，就是将几个相邻元素先抽出进行排列再将它们视为一个元素参与下一步的排列，此法是法(1)的逆向思维应用．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再

3、考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．前两种方法叫直接解法，后一种方法叫间接解法，求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理：然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．典型问题的典型解法相邻问题────捆绑法不相邻问题───插空法间隔问题────分析法定序问题────空位法相同名额的分配的问题──插板法不同元素的平均分组的问题──平均分成几组就除以几的阶乘4个男同学，

4、3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？【尝试解答】(1)3个女同学是特殊元素，共有A种排法；由于3个女同学必须排在一起，视排好的女同学为一整体，再与4个男同学排队，应有A种排法．1．对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间

5、接法．2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．在本例中，条件不变，把第(1)、(2)小题改为下面两问题：(1)甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？(2)若甲乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？(2013·汕头质检)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()A．120个B．80个C．40个D．20个【答案

6、】C男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有1名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员．【思路点拨】第(1)问可以用直接法或间接法求解．第(2)问根据有无女队长分类求解．1．本题中第(1)小题，含“至少”条件，正面求解情况较多时，可考虑用间接法．第(2)小题恰当分类是关键．2．组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除

7、，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．热点分类突破本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练热点分类突破本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练热点分类突破本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练热点分类突破本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练热点分类突破本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练[思路导引](1)取出的4张卡片所标的数字之和等于10，注意到：1＋2＋3＋4＝1＋1＋4＋4＝2＋2＋3＋3

8、＝10，据此进行分类，又取出卡片还要排序，因此这是排列与组合的综合问题．(2)一般地，解答排列与组合的综合问题，是先选元素(组合)再排元素(排列)，本题的求解有两处难点，一是如何分类，分成几类，这里“数字之和为10”即为问题的突破点；二是选出满足条件的卡片后还需排列，这是易错点．答案：432解决排列、组合综合问题要遵循的原则：(1)按事情发生的过程进行分步：(2)按元素的性质进行分类．①特殊元素优先法．②特殊位置优先法．③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．1．有