排列组合问题

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1、排列组合问题1•分类计数原理：做…件事情，完成它可以有n类办法，在第…类办法中有®种不同的方法，在第二类办法中有加2种不同的方法，……，在第n类办法中有'心种不同的方法•那么完成这件事共有N=“+叫+…+mn种不同的方法’2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有"种不同的方法，做第二步有®种不同的方法，……，做第n步有叫，种不同的方法，那么完成这件事有N=加2><・・・><加“种不同的方法・3.排列的概念：从"个不同元素中，任取加（加<〃）个元素（这里的被取元素各不相同）按照…定的顺序排成一列，叫做从"

2、个不同元素中取出加个元素的一个排列.4.排列数的定义：从〃个不同元素中，任取加S）个元素的所有排列的个数叫做从斤个元素中取出加元素的排列数，用符号4表示.5.排列数公式：AT=处（兀一1）（况一2）・・・（处一加+1）（Nm

3、同元素中取出加个元素的组合数.用符号C”表示.C：10.组合数公式:A：_n(n_1)(/1_2)•…(〃一加+1)tnc：=:*或"m!（n-m）!（n,meN'且加

4、的圆排列.（3）定理：在人={%卫2，色，的斤个元素中，每次取出厂个不同的元素进行圆排列，圆排列数为吃・r13.可重排列允许元素重复岀现的排列，叫做有重复的排列.在加个不同的元素中，每次取出斤个元素，元素可以重复岀现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第〃位是的选取元素的方法都是加种，所以从加个不同的元素中，每次取出〃个元素的可重复的排列数为加"•14.不尽相异元素的全排列如果斤个元素中，有卩个元素相同，乂有卩2个元素相同，・••，乂有几个元素相同（门+宀+…+几＜〃），这料个元素全部取的排列叫做不尽相异的八个元素的全排列，它

5、的排列数是——-——戸叽!……久！15・可重组合（1）从斤个元素，每次取出p个元素，允许所取的元素重复出现1,2,…,p次的组合叫从n个元素取出p个有重复的组合.（2）定理：从舁个元素每次取出p个元素有重复的组合数为：—＞解题思路：排列组合题的求解策略（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略.（2）分类与分步有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为牢集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是

6、乘法原理.（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数.（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间.（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列,然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列.（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型.如将12个完全相同的球排成…列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆

7、，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为Ci；,这也就是方程a+b+c+d=12的正整数解的个数.解排列组合问题，首先要弄清一件爭是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下儿种常用的解题方法：三、讲解范例：一、相临问题——整体捆绑法例1・7名学牛站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，

8、并考虑甲乙二人的顺序，所以共有心•採=1440种。捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题•即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列.一般地：刃个人站成一排，其中某淤个人相邻，可用“捆绑”法解决，共有