三角函数y=sinx的图象与性质

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1、三角函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2kπ－，2kπ＋为增；2kπ＋，2kπ＋为减[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增kπ－，kπ＋为增对称中心(kπ，0)对称轴x＝kπ＋x＝kπ无与三角函数有关的定义域和值域问题【例1】►(1)函数y＝的定义域为________．(2)函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1在x∈上的最大值为________，最小值为________．解析　(1)si

2、nx－cosx＝sin≥0，所以定义域为.(2)f(x)＝2cosxsinx－2cos2x＋1＝sin2x－cos2x＝sin，∵x∈，∴2x－∈，∴sin∈，故f(x)max＝，f(x)min＝－1.答案　(1)　(2)　－1【训练1】(1)函数y＝的定义域为________；(2)当x∈时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值为________，最大值为________．解析　(1)由题意知：tanx≠1，即，又，故函数的定义域为：.(2)y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sin2

3、x－sinx＋1＝22＋.又x∈，∴sinx∈，∴当sinx＝时，ymin＝；当sinx＝－时，ymax＝2.答案　(1)　(2)　2三角函数的单调性【例2】►(2012·北京)已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．解　(1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R

4、x≠kπ，k∈Z}，因为f(x)＝＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝sin－1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)函数y＝sinx的单调递增区间为(k

5、∈Z)．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z)．【训练2】求下列函数的单调递增区间：(1)y＝cos；(2)y＝3sin.解　(1)将2x＋看做一个整体，根据y＝cosx的单调递增区间列不等式求解．函数y＝cosx的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z.由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z.故y＝cos的单调递增区间为kπ－，kπ－(k∈Z)．(2)y＝3sin＝－3sin，∴由＋2kπ≤－≤2k

6、π＋，得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.故y＝3sin的单调递增区间为(k∈Z)．　三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例3】►(1)若0＜α＜，g(x)＝sin是偶函数，则α的值为________．(2)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.解析　(1)要使g(x)＝sin为偶函数，则需＋α＝kπ＋，α＝kπ＋，k∈Z，∵0<α<，∴α＝.(2)由y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，即3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)，又

7、φ

8、＜，∴k＝0，故φ＝.答案　(1)　(2)

9、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)，(1)函数f(x)为奇函数的充要条件为φ＝kπ(k∈Z)；为偶函数的充要条件为φ＝kπ＋(k∈Z)．(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；如要求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．【训练3】(2013·银川联考)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)．A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称D．函数f(x)在区间上是增函

10、数解析　f(x)＝sin＝－cos2x，故其最小正周期为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，D正确，故选C.答案　C【例4】(2012·湖北)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x

11、)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．[解答](1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即