量子力学-三维量子系统

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1、Chapter4三维量子系统§1.角动量§2.轨道角动量§3.自旋§4.角动量叠加§5.球坐标系下的Schroedinger方程-氢原子§4.1.角动量的一般理论先讨论经典三维转动变换和量子无穷小转动变换§4.1.1经典转动先绕x轴转动，先绕y轴转动，再绕y轴转动再绕x轴转动RRyx()()π/2π/2RRxy(π/2)(π/2)一.坐标系的旋转y′⎛⎞⎛xcosθ−sinθ⎞⎛x′⎞eˆ⎜⎟⎜=⎟⎜⎟2⎝⎠⎝ysinθθcos⎠⎝y′⎠eˆ′eˆ1′2eˆ1定X≡RX()θ′⎛eeeeˆˆˆˆ⋅⋅′′⎞1112R()θ=⎜

2、⎟⎝eeeeˆˆˆˆ⋅⋅′′⎠2122其实这是一个绕z轴的旋转，z轴的坐标不变。z′=z所以在三维坐标系统下，这组坐标的变换应该⎛⎞⎛xcosθ−sinθ0⎞⎛x′⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟y=sinθθcos0y′⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜′⎟⎝⎠⎝z001⎠⎝z⎠⎛cosθ−sinθ0⎞X=RX()θ′R()sin=⎜cos0⎟zzθθθ⎜⎟⎜⎟⎝001⎠其逆变−1X′==RXRX()θ()−θzz⎛⎞cosθsinθ0−1⎜⎟TRR()θ=−=−()θθsincosθθθ0=RR()=()zz⎜⎟⎜⎟⎝⎠001因为矩阵是实如果绕x轴

3、和y轴转动，转动变换的矩阵怎么z绕x轴转只需作变换xÆy,yÆz,zÆ⎛⎞⎛ycosθ−sinθ0⎞⎛y′⎞y⎜⎟⎜⎟⎜⎟z=sinθθcos0z′x⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜′⎟⎝⎠⎝x001⎠⎝x⎠x=x′⎛100⎞⎜⎟yy=−′′cosθzsinθRx()0cosθ=−⎜θθsin⎟⎜⎟zy=+′′sinθzcosθ⎝0sinθcosθ⎠绕y轴转动只需作变换xÆz,yÆx,zÆx=′+′xxzcosθsinθyy=′zz=zx′′cosθ−sinθy⎛cosθ0sinθ⎞⎜⎟R()θ=010y⎜⎟⎜⎟⎝−sinθ0cosθ

4、⎠同样地，逆变换⎛100⎞−1⎜⎟R()0cosθ=θθsinx⎜⎟⎜⎟⎝0s−incθosθ⎠⎛cosθ0−sinθ⎞−1⎜⎟R()θ=010y⎜⎟⎜⎟⎝sinθ0cosθ⎠yKB二.矢量的旋转KKKA矢量A旋转一个角度θ，变成了矢量B：KeˆA=Aeˆˆ+AeyθxxyyKθeˆxBBeBe=+ˆˆxxxyyKKBBeBeRAAReARe=+=ˆˆ()=θ()θθˆ+()ˆxxyyxxyy不难理解或者可以证明，在图中的矢量旋转矩阵R实际上与前面的坐标转动下矢量A的表达式是一样的，即⎛cosθ−sinθ0⎞⎜⎟R()sin

5、θθθ=cos0z⎜⎟⎜⎟⎝001⎠事实上，图中的矢量旋转就是绕z轴的旋转。我们感兴趣的是无穷小的旋转：2⎛10−−ε⎞ε2⎜⎟2()=−⎜1ε0⎟Rzεε2⎜⎟⎜001⎟⎝⎠其中ε三阶以上的量都忽略了。类似地，我们有绕x和y轴的旋转矩阵：2⎛100⎞⎛10−ε⎞ε⎜⎟⎜2⎟2()01εRRxε=−−⎜ε⎟y()ε=⎜010⎟2⎜2⎟⎜2⎟⎜01−ε⎟⎜−−ε⎟εε01⎝2⎠⎝2⎠我们看两个矩阵的乘积Rxyyx()(),()()εRRRεεε2⎛10−ε⎞ε2⎜⎟22=−⎜ε−⎟RRxy()()εεεε12⎜⎟2⎜−−εεε

6、1⎟⎝⎠22⎛−ε⎞1εε2⎜⎟2εRR()()εεε=−⎜01−⎟2yx2⎛10−−ε⎞ε2⎜⎟⎜⎟22⎜−−⎟=−⎜ε⎟εεε1R()εε10⎝⎠z2⎜⎟⎜001⎟只保留到2项⎝⎠ε⎛⎞−200ε⎜⎟22RRRRxy()()εεεεε−=yx()()⎜⎟00=Rz()1ε−(*)⎜⎟⎜⎟000⎝⎠§4.1.2量子力学中的无穷小转动和角动量一.无穷小转动算子H（Drehung，orrotation）定义α≡H()RαR类似于空间平移和时间平移算子的无穷小变换，Ui=1−Gεε在空间转动一个无限小的角度dφ。不过转动总是绕某

7、个轴转，原则上讲空间轴可以是任意的，比如我们可以假定轴k的方向是nˆ。从经典力学来看，物体的转动，是因为有了力矩，使得系统的角动量发生了改变。动量使物体位置发生平移，能量使系统的时间平移，而角动量使物体沿着轴转动一个角度。所以我们可以说，角动量是空间转动的生成元。所以在量子力学中对一个态做旋转操作，也就是使量子态言某个轴转动dφ的角度。比方说沿k轴的转的角动量是J，那么可以对此轴转动的无穷小生成k元的变换形式为JUi=−1Gε1kεUi=−dφdφ=我们知道角动量是矢量，实际上沿k轴的转动就是角动量投影到k轴方向的转动KJJ

8、n=⋅ˆk所以一般情况下，我们把转动的无穷小变换可以写KJJn⋅ˆH(,)1ndˆφ=−ikdφ=−1idφ==J()(,)1ˆzHHdeφ==diφ−dφzz=如果是一个绕z轴的有限小转动φ，类似于以前关于平移变换下的讨论，我们可以构造N⎛⎞⎛JJzzφφ⎞Hz()lim1φ=−⎜⎟⎜i