调和点列的性质与一类竞赛题的证明

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1、·课外园地·数学通讯一2009年第6期(下半月)43调和点列的性质与一类竞赛题的证明沈文选肖登鹏(湖南师大数学系，410081)(湖南师大附oe，410081)设A、B、C、D是共线的四点，若满足条件((*)处用到等比定理，同加与同减)面AC=推论1一圆的直径被另一圆周调和分割的，则称A、C、B、D为调和点列，亦称线充要条件是，这个圆周与过两分割点的任何圆周段AB被C、D调和分割，或线段CD被A、B调和相交成直角．分割．若从共点直线外一点P引射线PA，PC，事实上，如图2，00的半径的平方OC2，等PB，PD，则称PA，PC，PB，PD为调和线束

2、．为了于点O对o01(o01过A、B两点)的幂OA·证明一类竞赛题，我们先介绍调和点列的几条结OB．论：定理1设A、C、B、D共线，从共线直线外一点P引射线PA，PC，PB，PD，则A、C、B、D为调和点列的充要条件是，当PC平分APB时，有LCPD=90。．证充分性．当PC平分APB，且CPD=90。时，如图1，则知‘图2PD是APB的外角的推论2设点C是AAEF的内心，角平分线平分线，由角的内、外角AC交边EF于点B，射线AB交zXAEF的外接圆平分线的性质，知^，、=图1于点0，则射线AB上的点D为AAEF的旁心的嚣=DA9B，即c、D调和

3、分割AB．充要条件是：器．事实上，若D为AAEF的旁心，则由定理1必要性．当C、D调和分割AB，且PC平分APB时，过点C作PD的平行线交射线PB于知，三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调点E，交射线PA于点F，则IPFDC=面AC，面EC=面CB．和分割．于是有西AC=．显然c、E、D,F~NJ，而面AC=面AD即=面CB且圆心为O．，，从而FC=CE．于是当曲定理2的证明知，===尸C平分LAPB，则PC_LEF．所以PC上PD，即CPD=90。．：定理2设A、C、B、D共线，则A、C、B、DOB‘反之，若有面AC=为调和点列的充要条件是，

4、从线段CD的中点0，则可用同一法，推证得起，截同向线段OA及OB，使这线段的一半长为点D为AAEF的旁心．比例中项，即OC2=OA·OB．推论3AAEF的角平分线AB交EF于点证如图2，因0为CD中点，知0C=OD．B，交AAEF的外接圆于点0，则OE=OF：A、c、B、D为调和点列∞=面AD筒粉OA·0B．定理3完全四边形一条对角线被其他两条：0C+oB一20C=20B甘⋯0c。=OA·OB．‘对角线调和分割．数学通讯一2009年第6期(下半月)·课外园地·此结论的证明可参由对角线调和分割性质(即定理3)，知AH被G、见[1]．如图3，AD、B

5、F、F调和分割，从而知BA、BH、BG、BF为调和线CE为完全四边形f束．而BD上BE，故BF平分ABP的外角，即ABCDEF的三条对角线，BF是PBC的平分线．则点M、N调和分割(2)由(1)的结论及题设条件，可求得tanAD，若BF与CE不平行，CNEG，LPCB=6+46则设它们所在直线相交．(过程略)于点G，有M、G调和分图3例2(1996年全国高中联赛题)如图6，圆0l和圆02与／XABC的三边所在的三条直线都割BF，点N、G调和分割CE．若BF与CE平行，则可看作直线BF与直线CE相交于无穷远点G，相切，E、F、G、H为切点，并且EG

6、、刚的延长线这时，也有上述结论．交于点P．求证：直线PA与BC垂直．定理4从圆外一点A引圆的割线交圆于，，C、D，若割线ACD与点A的切点弦交于点B，则，

7、；

8、＼弦CD被A、B调和分割．证如图4，设圆心为O，过A作oO的切．．线AP，AQ．切点为P、Q，EBDCF则PQ为点A的切点弦，图6连结AO交PQ于点L，证设直线PA交BC于点D．对／XABD及连结LC，LD，0C，0D，截线，对／XADC及截线PGE分别应用梅涅则由AC·AD=AQ=劳斯定理．有AL·AO，知C、L、0、DAH鳗．：1-⋯AG—CE四点共圆．从而ALC=一．CD0=0CD=

9、图4HBFDPA‘_PAGCED‘由切线性质，有BF=FiB，晒=C,C，有OLD，即知为／XLCD的内角CLD的外AHAGHnEDAG一一——————分平分线．又PQ_l_AL，则知LB平分ACLD．故FD—ED’DF—AH‘由定理1知，CD被A、B调和分割．连结0lG，02H，由Rt／xAC,O1∽下面，我们运用上述结论，给出一类竞赛题的另证．Rt△AH。：，知=髫，连结OlE，02F，则例1(2006年AG=．连结01D，02D，贝lJ在Rt△0lED与中国西部地区数学奥林匹克题)如图5，在Rt／xOFD中，有面ED=．△PBC中，PBC=

10、于是，RtAO1EDc~RtAO2FD，即有01DE60。，过点P作／xPBC=02DC，从而直线DF为／xOlDO2的的外接圆o0的切