航天器的轨道问题

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1、33卷第8期物理教学VoI_33NO．82011年8月PHYSICSTEACHINGAug．2011廊天器羽轨厘问题王秋霞、郭成宝(上海市控江中学上海200093)新世纪以来，七次神舟飞船顺利邀游太空，两次线。也就是说机械能E<0为椭圆，E=o为抛物线，嫦娥奔月成功’，使我国航天技术在世界上占有一席E>0为双曲线。之地。广大青少年对航天事业产生了浓厚的兴趣。所以当r0一定时，E完l航天器的运行规律，主要是奠基于牛顿力学，笔者认全决定于，也就是ro一定。为在高中阶段的物理课中结合万有引力定律的教时，轨道的类型

2、只取决于。一一学，可以引进有关卫星轨道的力学知识。至少在拓展由于当前我国发射的神课或选修课中可以采用。本文为此提供有关卫星轨舟飞船与嫦娥奔月卫星都是．道的若干基础知识。椭圆轨道，下面我们主要研图2究椭圆轨道(见图2)：口为长一、轨道的建立众所周知，卫星是在星体的万有引力作用下作有户：譬，也即—a(1-e)，(或)是近地有心力运动的。点，r(或ra)是远地点。一0。时，r为r(或)，当某一卫星沿着轨道运行时，卫星的机械能(动能和引力势能之和)既不增加，也不减少，而是保持常=i_；=7c时，r为r(或r口ora

3、—r，因值。机械能为2a=+==：，将p一等，e一E=专删2一一常数其中是中心球体的引力参数，等于万有引力恒量和√1+代人，得2n：：：一，再将E一号脚2一中心天体质量的乘积。卫星绕代入上式得：2口：==一——，即可求出椭圆中心引力体运动，当r和沿轨聊2一2⋯’一道变化时，角动量L=，Xmv保持不变。采用极坐标(见图1)，经过数学处理，卫星的轨上某一点的绕行速度为：一√2(一)。道方程是：图1因此在近地点的发射速度一√2(一)一／m一r==’。———。——————————————’一Zrp)_-，和。确定，

4、长半轴确定，远地点也1+．，／~(2a√1+cos、『。，．表示卫星与中心天体即力心0的距离，或称确定。因为椭圆轨道的周期丁一，又因为百加上矢径；为r与极轴的夹角，m为卫星的质量，这样r仅为的函数，即r=r()。角动量L=×守恒，所以T：煎塑=1女Ⅱ令等，e=√1+，则轨道形式为2~abm：下L氅：，～即⋯长半⋯轴确⋯定⋯，周期⋯也一圆锥曲线：r=__，户是半正焦弦，g是偏心l十eC0S确定。率。01为双曲综合卜沭分析。可得出如下结论：在近地点发射·1O·33卷第8期物理

5、教学的速度决定了轨道的一切要素。变轨时所需的△最小从而节省燃料。[例1]1970年，我国发射的第一颗人造地球例如，如图3所示从半径为卫星，重量为173kg，绕地作椭圆轨道运动，近地点r的小圆轨道转移到半径为r2高度h，=439km，远地点高度一2384km，试计的大圆轨道上。在小圆轨道上算：卫星在近地点的发射速度大小和卫星的周期。解：因为地球半径R：6370km，地球质量M=卫星的速度s一√，在点“1，’上的椭圆轨道上的速度应为图36．07×10孔kg，G一6．67×10N·m／kg，所以“：GM=4O．4

6、8×10。N·m。，===r一h+R一8754km√(参见例1)，因此在点“1，，上，卫r一h⋯+R一6809km星需改变的速度为：△：一。。当卫星运行到点“2”时，椭圆轨道上速度为。=将以上数据代人公式：7／o一√2(～)，在大圆轨道上的速度为，N／~(2a-rp)一√=8．。m／S，卫星需要再次改变的速度为=：=V2s-VZo将n=代人周期公式，得丁一一6．85×10。s一114min[例2]2O1O年1O月我国发射的嫦娥2号的⑥：⑧地月轨道也是椭圆轨道，近地点的rmi一200+图4图56370===6

7、570km，远地点的r一380000+6370—386370km，求近地点的发射速度。由于霍曼转移在时间上较长，因此有时要采用解：利用例1中的一GM===4O．48×10¨N·m2，一般性的圆轨道转移(如图4所示)。转移的椭圆轨并将此题中的，r值代入公式，得道需满足的条件是：近点：r≤r，远点：r≥r。。在这种一般性的圆轨道转移变轨中，要求卫星速度的大小和方向均发生改变。。一一s．，√广2■(———一————■)，"Ols一√厂，由图5可知，此值略小于第二宇宙速度11．2km／s。(Av1)=}+}一2v】

8、1COS1，其中是l和1两速度之间的夹角，如。=0，就是霍曼转移。二、轨道的控制——变轨问题再如在发射同步卫星时，需要将原来的轨道平为完成航天器的任务，必须由地面控制，发出指面转移到赤道平面上(如图6所示)，应在两个轨道令，让航天器变更轨道。如嫦娥1号，近地需4次变的一交点上加△，如两轨道之间的转移角为，从图轨使嫦娥1号进入地月轨道，到近月时又要三次变7中可知△一2vsin昙，因为发射点的纬度越高，轨；如发射同步