计量地理学第三章统计分析方法7趋势面分析

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1、第三章统计分析方法§1地理要素间的相关分析§2地理要素间的回归分析§3时间序列分析法§4系统聚类分析方法§5主成分分析方法§6马尔可夫预测方法§7地理系统的空间趋势面分析§7地理系统的空间趋势面分析一、空间趋势面分析概述趋势面分析用数学的方法，以数学模型来模拟（或拟合）地理数据的空间分布及其区域性变化趋势的方法它实质上是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。趋势面分析方法常常被用来模拟资源、环境、人口及经济要素在空间上的分布规律，它在空间分析方面具

2、有重要的应用价值。趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使地理要素的空间分布规律明显化。通常把实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，前者反映地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果；而后者则对应于微观局域，是随机因素影响的结果。趋势面分析的一个基本要求，就是所选择的趋势面模型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精度才能达到足够的准确性。空间趋势面分析，正是从地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值，从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。趋势面的性质与特点是一种光滑的数学曲面，它能集

3、中地代表地理数据在大范围内的空间分布变化趋势与实际上的地理曲面不同，它只是实际曲面的一种近似值。实际曲面包括趋势面和剩余（或离差）曲面两部分，即实际曲面＝趋势面+剩余曲面二、趋势面分析的数学模型（一）趋势面分析的数学原理设以Zi(xi，yi)表示某一地理特征值在空间上的分布。其中(xi，yi)为平面上点的坐标。任一观测点Zi可分解为两个部分即式中：εi即为剩余值（残差值）。显然，当（xi，yi）在空间上变动时,式就刻画了地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关系趋势面分析的核心从实际观测值出发推算趋势面，一般采用回归分析方

4、法，使得残差平方和趋于最小，即这就是在最小二乘法意义下的趋势面拟合。用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。多项式方程作为趋势面方程因为任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼近，并可调整多项式的次数来满足趋势面分析的需要，一般来说，多项式的次数越高则趋势值越接近于观测值，而剩余值越小（二）多项式趋势面的数学模型（三）估计趋势面模型的参数实质根据观测值zi，xi，yi（i=1,

5、2,…,n）确定多项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平方和最小。趋势面参数的确定（最小二乘法）使每一个观测值与趋势值的残差平方和为最小，即按建立多元线性方程的方法，使Q对系数b0，b1，…，bn求偏导，并令这些偏导数等于零，得趋势面的正规方程组，解正规方程组，即可求出系数，从而得到趋势面方程过程①将多项式回归（非线性模型）模型转化为多元线性回归模型。令则②其残差平方和为（3.6.5）③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并令其等于0，得正规方程组(式中为p+1个未知量）（3.6.6）④用矩阵形式表示则（3.6.6）式变为（3.6

6、.7）⑤对于二元二次多项式有其正规方程组为由式（3.6.7）求解，可得（3.6.8）（三）趋势面拟合程度的检验趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直接相关，因此，对趋势面分析进行适度性检验是一个关系到趋势面能否在实际研究中加以应用的关键问题，也是趋势面分析中不可缺少的重要环节。这可以通过以下检验来完成：趋势面拟合适度的R2检验趋势面拟合适度的显著性F检验趋势面适度的逐次检验（一）趋势面拟合适度的R2检验趋势面与实际面的拟合度系数R2是测定回归模型拟合优度的重要指标。一般用变量z的总离差平方和中回归平方和所占的比重表示回归模型的拟合优度

7、。总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和之和。即越大（或越小）就表示因变量与自变量的关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。记越大，趋势面的拟合度就越高。为剩余平方和，它表示随机因素对离差的影响，为回归平方和，它表示自变量对因变量的离差的总影响。（3.6.9）（二）趋势面拟合适度的显著性F检验趋势面适度的F检验，是对趋势面回归模型整体的显著性检验。方法：是利用变量z的总离差平方和中剩余平方和与回归平方和的比值，确定变量z与自变量x、y之间的回归关系是否显著。即结果分析：在显著性水平α下，查F分布表得Fα，若计算的F值大于临界值Fα，

8、则认为趋势面方程显著；反之则不显著。（3.6.10）（三）趋势面适度的逐次检验方法(1)求出较高次多项式方程的回归平方和与较低次多项式方程的回归平方和之差;(2)将此差除以回归平方和的自由度之差，得出由于多项式次数增高所产生的回归均方