波形松弛算法及其在计算流体力学中的应用

《波形松弛算法及其在计算流体力学中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2013年2月计算数学第35卷第1期Feb．，2013MATHEMATICANUMERICASINICAVo1．35，No．1波形松弛算法及其在计算流体力学中的应用冰1)杨熙(南京航空航天大学数学系，南京210016)摘要本文介绍求解线性常系数微分代数方程组的波形松弛算法，基于Laplace积分变换得到该算法新的收敛理论．进一步将波形松弛算法应用于求解非定常Stokes方程，介绍并讨论了连续时间波形松弛算法CABSOR算法和离散时间波形松弛算法DABSOR算法．关键词：微分代数方程组；鞍点结构；非定常Stokes方程；波形松弛算法MR(2000)主题分类：65F10，65L80，65N06

2、，65N22，65N401．简介微分代数方程组的一般形式为F(t，X，圣)=0(1．1)其中F：ⅡX×D，这里Ⅱ是一个开区间，D，是开集，m，n∈N，N为自然数集合．方程组(1．1)中的含义需要特别注意，它主要包含两种含义：一方面，它表示可微函数X：Ⅱ关于其自变量t∈Ⅱ的导数函数；另一方面，它也表示圣是向量值函数F的独立变量．这样做的意义在于，我们希望能够通过向量值函数F来确定可微函数使它在下述意义下成为(1．1)的解函数，即F(t，()，())=0，Vt∈Ⅱ对于问题(1．1)，我们需要讨论其解的存在性和唯一性．所谓的唯一性是指：满足如下初值条件的解函数X是唯一的，即x(to)=o，(1．

3、2)其中t0和X0∈是给定的初始时间和初始状态；以及满足如下边值条件的解函数是唯一的，即6((量)，())=0，(1．3)其中b：D×，Ⅱ=陋，_])对于某些问题其唯一性也会依赖于正整数d．由于微分代数方程组是由微分方程和代数方程组成的，所以其形态就比单独的微分方程和代数方程都要复2012年9月4日收到．)基金项目：国家自然科学基金(11101213)资助计算数学2013年杂．一方面，它能够反映微分方程的特殊性质；另一方面，它又具有代数方程的某些特点；更重要的是，还有一些其他现象是由于微分方程和代数方程的组合才出现的．因此，对于微分代数方程组理论的研究是非常具有挑战性的．对微分代数方程组的

4、理论分析一直以来有着两种主要思路，一种是几何分析方法，由Rheinboldt[40首先提出，这种方法是把微分代数方稗组视为流形上的微分方程组来进行研究．另一种则是代数分析方法，这种方法源于WeierstrafiJ和Kronecker[19j在矩阵簇理论方面的奠基性工作，随后CampbellIS]等建立了关于线性变系数微分代数方程组的理论_20_，并将这些理论推广到了非线性微分代数系统[2124J．Lelarasmee[25]等学者在对超大规模集成电路进行数值模拟时，首次提出波形松弛算法，并且取得了很好的数值效果．波形松弛算法现已成为求解大规模微分代数方程组的荤要数值方法，其主要思想是在原始

5、复杂方程组的层面上将问题简单化，即把原来规模较大的问题分解成许多易于求解的子问题，然后对每个子问题分别单独求解．波形松弛算法是一种迭代算法，在新的一轮迭代中对各个子问题进行数值积分时，只需要用到其它子问题在前一轮迭代中的解函数．因此，波形松弛算法非常适合并行求解_l51"]，即对每个子问题的求解过程可以由不同的计算机节点来完成，如果能够适当地分配各个计算机节点的计算任务，则可以获得比较理想的并行效率．波形松弛算法也是一种连续时间迭代算法，即给定一个解函数的近似函数，在整个时间区间上计算一个新的近似函数去逼近解函数．在实际求解过程中，需要对连续方程进行数值离散，因此我们实际上使用的是离散时间

6、迭代算法．微分代数方程组和波形松弛算法被广泛地应用到了科学研究与工程应用的各个领域，包括超大规模集成电路的模拟I121，。，化学反应过稗的模拟，以及电力系统的分析之中[1o]．很多实际问题的数学模型是通过偏微分方程组来描述的，非定常的偏微分方程组通过空问半离散之后所得到的微分方程也可以用波形松弛算法来求解，例如，对半导体设备的模拟_27l39l，以及扩散方程Navier—Stokes方程【33j等．本文具体内容安排如下：第2节讨论常系数线件微分代数方程组的连续时间波形松弛算法的一般收敛理论；第3节介绍求解非定常Stokes方程的连续时间波形松弛算法；第4节讨论求解非定常Stokes方程的离

7、散时间波形松弛算法；第5节给出结论与展望．波形松弛算法的收敛性条件波形松弛算法的一般收敛性分析最早由Lelarasmee、Ruehli和Sangiovanni—Vincentelli[25]以及White[45]在电子工程类的文献中给出，他们分析了在超大规模集成电路模拟中遇钊的非线性常微分方程组的波形松弛算法的收敛性．尽管他们得到了波形松弛算法收敛的结果，但对于其收敛速度却没有办法估计．为了获得波形松弛算法收敛速度的准确