抛物线坐标系及其度规、仿射联络

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1、第31卷第2期Vo1．31No．2井冈山大学学报(自然科学版)2010年3月Mar．2010JournalofJinggangshanUniversity(NaturalScience)8文章编号：1674．8085(2010)02—0008—04抛物线坐标系及其度规、仿射联络张恩德(嘉应学院物理与光信息科技学院，广东，梅卅I514015)摘要：抛物线坐标系是一种特殊的坐标系，对于静止质量类似于Coulomb势对称分布的物质，运用该坐标系有助于获得广义相对论时空下爱因斯坦引力场方程的近似解甚至解析解。本文详细地描述了它的坐标变量、坐标面及线元、体元，推导了它的度规及仿射联络，为求得

2、爱因斯坦引力场方程的近似解甚至解析解提供工具准备。关键词：抛物线：度规；仿射联络中图分类号：O431．2文献标识码：ADOI：IO．3969~．issn．1674—8085．2010．02．003PARABoLACooRDINATESYSTEMANDITSRULEoFMETRIC，AFFINECoNNECTIoNZHANGEn．de(PhysicsDepartment，JiayingUniversity，Meizhou，Guangdong514015，China)Abstract：ParabolacoordinatesystemiSaspecialcoordinatesystem．

3、AccordingtothematerialwhosestaticmassdistributesymmetricallysimilartotheCoulombpotential，itishelpfultoutilizethecoordinatesystemtoobtaintheapproximatesolution，eventheanalyticsolutionoftheEinsteingravitationalfieldequationunderthegeneraltheoryofrelativity．Furthermore，wedescribeitscoordinatevari

4、able，coordinatesurface，lineelementandbodyelement．Finally,wededuceitsruleofmetricandamneconnectionandprovidethetoolsforobtainingtheapproximatesolution，eventheanalyticsolutionoftheEinsteingravitationalfieldequation．Keywords：parabola；ruleofmetric；amneconnection爱因斯坦的度规场引力理论将引力与度规结抛物线坐标系及其度规、仿射联络对解

5、决静止质量合，使黎曼几何成为有效解决广义相对论的数学工分布具有类似于Coulomb势的对称性的引力场问具。在量子力学中，若势场为Coulomb势，则可以题具有较强的现实意义。采用抛物线坐标系找出相应的Schrodinger方程解1三维抛物线坐标系析解【】】。度规取决于坐标系的选择，对于具有某种1．1抛物线坐标变量与直角坐标变量关系对称性的质量分布，选择合适的坐标系与度规，使设抛物线坐标系三个独立坐标变量为度规形式附加某些对称性要求，则爱因斯坦的引力(，r／，)，它们与直角坐标变量(，Y，z)的关场方程可以大大简化。在广义相对论时空，若静止系为IJ：质量分布具有类似于Coulomb势

6、的对称性，采用抛=，．+z，77=r一2，=arctan(y／)(1)物线坐标系与其对应的具有对称性的度规，找出爱因斯坦引力场方程的近似解甚至解析解成为可能。r---厂-_1=√勿cosq7，Y=√勿sin?,z=。三(一叩)(2)遗憾的是，文献[1]中虽然简单描述了抛物线坐标其中r=X+Y+z，0≤，77≤oO，0≤≤2z系，但没有讨论它的度规和仿射联络。因此，探讨收稿日期：2009—10—29；修改日期：2010一O1—06．作者简介：张恩德(1971一)，男，湖北黄石人，副教授，博士，主要从事物理教育理论研究(E．mail：endejj@163．corn)井冈山大学学报(自然

7、科学版)91．2抛物线系坐标面维时空体积元的表达式：当=A(／4为非负常数)时，由=+z知，d=2had~dr／drp，对应的坐标面方程为：其中：+v22十V：—一2zZ，’11=一该坐标面方程是以z轴为对称轴的旋转抛物面，焦，?=一2，=。2点在坐标原点，开口向下(图la)。2四维抛物线坐标系度规用表示某事件的四维时空坐标，=0，l，2，3，则对应一个时空点，两个无穷近的四维时空点问有微分时空间隔，度量这两个时空点之间的距离，采用爱因斯坦求和，则距离平方可表示为：)