弯曲_lecture(3)

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1、工程背景、受力特征、工程背景、受力特征、变形特征变形特征、、内力分布特征内力分布特征表征？表征？————►►变形表征、变形表征、挠曲线微分方程、刚度条件挠曲线微分方程、刚度条件§5梁的变形研究范围：等直梁弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁。dθ1M(x)已知：梁任一dx段的变形：==±dxρEI一、度量梁变形的两个基本位移量1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。2.转角：横截面绕其中性轴转Fθ动的角度。用θ表示，顺时Cx针转动为正，反之为负。wCθ1w切线二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：w=w(x)三、转角与挠曲线

2、的关系：θ≈tanθ=w'(x)对于小变形§§5.15.1挠曲线微分方程及其积分挠曲线微分方程及其积分一、挠曲线微分方程dθM(x)=±dxEIM(x)⇒w′′≈±dwEIθ=dx对于以下M-x及w-x坐标系：xM有：M(x)挠曲线的⇒w′′=−wMM>0,w″<0EI微分方程对等直梁：EIw′′=−M(x)二、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分EIw"(x)=−M(x)EIw'(x)=∫(−M(x))dx+C1转角方程EIw(x)=[(−M(x))dx]dx+Cx+D∫∫11挠曲线方程注：如果遇到EI或M(x)分段连续的情况，则要分段积分。此时积分常数将超过2个，他们将由支承条件

3、和连续条件联合确定。如果EI以及M(x)综合有n段，则需2n个定解条件。对超静定问题，综合n段则需‘2n+超静定次数。’积分常数确定后，代入上两式即可分别得到梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的转角和挠度。2、积分常数确定Få支承条件：ABCw=0,w=0AB受集中力作ç连续条件：用的简支梁w=w左右CCθ左=θ右CCFD支承条件：受集中力作wD=0,θD=0用的悬臂梁例1由积分法求图示梁的w、θ。AA解：1、弯矩方程FM(x)=−Fxx2、微分方程及积分求解EIxABEIw"=FxlwF2EIw'=x+C2F3EIw=x+Cx+D63、确定积分常数23FlFlx=l,w'=0⇒C

4、=−;w=0,⇒D=23F4、转角方程，挠度方程xF22w'=(l−x)2EIABEIxF323w=(x−3lx+2l)l6EIw5、最大转角和最大挠度2Flw'=−（逆时针）A2EI3Flw=（向下）A3EI例2图示简支梁受分布力作用，确定其挠度、转角方程及最大挠度和转角，EI为常数。解：1、弯矩方程为：qlq2M(x)=x−x22代入微分方程并积分得qlq2EIw"=−x+x222qxEIθ(x)=(2x−3l)+C63qxEIw(x)=(x−2l)+Cx+D24代入支承条件：w(0)=0,w(l)=03qlD=0C=24q323解得：θ(x)=(l−6lx+4x)24EIqx323w

5、(x)=(l−2lx+x)24EI34ql5qlθ=θ=−θ=,w=maxABmax24EI384EI例3由积分法求图示梁的w、θ。AAFFaEIBxAxCaaw⎧−Fx(0≤x≤a)M()x=⎨⎩−Fx+Fa(a≤x≤2a)则挠曲线微分方程为：⎧Fx()0≤x≤aEIw"=−M(x)=⎨⎩Fx−Fa()a≤x≤2a⎧12⎪Fx+C1(0≤x≤a)EIw'=⎨212⎪Fx−Fax+C(a≤x≤2a)2⎩2⎧13⎪Fx+C1x+D1(0≤x≤a)EIw=⎨61312⎪Fx−Fax+Cx+D(a≤x≤2a)22⎩62利用支承和连续条件确定C、D、C、D四个常数：1122支承条件：w(2a)=w

6、′(2a)=0−+−+连续条件：w(a)=w(a)w'(a)=w'(a)例4求图示弯曲刚度为EI的简支梁的挠曲线和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。FxBAbDaxFFlabllw解：坐标系如图，解得弯矩函数：⎧b()Fx0≤x≤a⎪M()x=⎨lb⎪Fx−F()x−a(a≤x≤l)⎩l[分析]图示受力结构，试问有几个积分常数？其定解条件…?FACBD2aaa/2/2å支承条件…ç连续条件…§§5.25.2叠加法求解一般弯曲梁的位移叠加法求解一般弯曲梁的位移受单一载荷作用的简单梁（简支梁、悬臂梁）——称基本类型梁（基型梁）。用积分法可求得所有基型梁的变形（基型解）（见教课书列表）。叠加

7、法：将一般梁的弯曲问题分解成若干基型，通过查表获得基型解。在通过基型解叠加，求解一般弯曲梁的位移。（求解指定截面的挠度、转角）结构分解（分解成若干简单梁）载荷分解重组（组成若干单一载荷）•组合结构的位移——位移求解顺序：先求解主结构，后解从结构图示AB为主结构，BC为从结构。注：支座反力、内力求解顺序：先解从结构，后解主结构•结构对称性的利用——•对称问题(结构对称-载荷对称):对称截面上的剪力和转角为零。•反对称问题(