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1、第!"卷第(期光学精密工程@>E1!"L>1(&""&年*月8HI/FGC.?J-,F/G/>.<.K/.,,-/.KMN.1&""&文章编号!""#$%&#’（&""&）"($"(!)$"*+,-./0,多项式拟合方法及应用单宝忠!，&，王淑岩!，牛憨笨!，刘颂豪&（!1深圳大学光电子学研究所，广东深圳2!)"*"；&1华南师范大学量子电子学研究所，广东广州2!"*(!）摘要：由于+,-./0,多项式的各项与光学像差有相应的对应关系，用+,-./0,多项式对镜面面形数据进行处理的方法已经广泛应用于工程项目、光学系
2、统设计软件和干涉检查等。用+,-./0,多项式作为光学和结构分析程序间的接口工具是非常方便和成熟的。本文阐述了+,-./0,多项式及其拟合方法和应用流程，并应用它作为数据接口工具实现了光机热各分析模块间的数据转换，并在某空间相机系统集成分析中得到应用。关键词：+,-./0,多项式；拟合；集成分析；有限元法；光机系统中图分类号：345#文献标识码：6统性能提供了有效的方法。!引言+,-./0,多项式是理想的结构分析与光学分析程序之间的接口工具。本文选用+,-./0,多项光机系统的光学元件在外载荷作用下，由于式作为基底
3、函数，用最小二乘法对镜面面形进行镜筒的变形将作整体相对位移，同时，光学表面也拟合，表示波前差。再将其拟合的+,-./0,多项发生面形变化。所有这些变化都引起光学系统的式耦合到原始系统上去，修正原始系统，得到变形同心度（789）变化及波前畸变（:;<），从而影响后的系统，进而评估光学系统在外载荷作用下的光学系统的特性。分析恶劣环境下光机系统的光性能。学性能是很有必要的。镜面的波面总是趋于光滑和连续的，所以一"+,-./0,多项式定可以将镜面的面形变化表示成一个完备基底函数的线性组合或一线性无关的基底函数系的组+,-.
4、/0,多项式是描述干涉图的波前像差的合。镜面的变形实质上等同于加工或检测时镜面常用方法：多项式的形式为!"F>G（#!）和上存在的畸变。本文借用干涉检验的概念，用!"G/.（#!），是以半径和方位角定义的极坐标形+,-./0,多项式对工程分析的镜面面形数据进行式表示的多项式。+,-./0,多项式之所以适合用处理的方法已经广泛应用于工程项目、光学系统来表示波前，是因为它在定义的单位圆上相互正设计软件（如=>?,@）和干涉检查（如+ABCD交。因此，所处理的数据（由干涉仪测得或分析计等）。算的面形变化）应该转换到单位圆
5、内，然后再进行+,-./0,多项式是;1+,-./0,在!%(#年构造处理。多项式拟合系数可以通过对数据进行最小的。+,-./0,多项式是互为正交、线性无关的，而二乘法拟合得到。理论上讲，项数越多拟合误差且可以唯一的、归一化描述系统圆形孔径的波前越小。边界。另外，+,-./0,多项式很容易与9,/?,E像差+,-./0,多项式具有如下两个主要特点：项对应，为有选择地单独处理各像差系数、优化系!）在单位圆上正交，即有如下关系收稿日期：&""!$!!$!)；修订日期：&""&$"#$!&第.期单宝忠，等：%&’()*&
6、多项式拟合方法及应用.!=!#!#）和光学设计者惯用的,&)$&-像差系数很容!"（，#）·!$（，#）!!#"%""$#$"易建立起联系，如表#所示。""极坐标形式的%&’()*&多项式的具体表达式#!$（#&%，"&$）&#’!（!）如下：$"（#"%或""$），!"（，#）&)"（）·%"（#），（#）#"#"#式中!"（，#）和!$（，#）为%&’()*&多项式。当上式中#为多项式的阶数，取值为"，!，#，#"%""&"时$&!，当"""时，$&"(+。对于具有圆⋯。"为与阶数#有关的序号，其值恒与#同奇偶
7、形光瞳镜面的系统，可将其规一化为单位圆。函数性，且绝对值小于或等于阶数。令（#）式中系的正交使不同多项式的系数相互独立，有利于"&#*#%，（.）消除偶然因素的干扰。%#（#*+）！（*!）+#*#+（#*#%&"）)#*#%+%&"+！（%*+）！（#*%*+）！"（/）#&$),#*#%,（#*#%’"），#012（#*#%）#（#*#%&"）%&’()*&多项式的正交性问题。首先求出一组在#*#%%#&（），所有数据点集合上离散正交的，且为%&’()*&多32)(（#*#%）#（#*#%’"（+）项式系的线性
8、组合的基底函数系1，即在基底函数系选定后，干涉条纹的级数分布1&2!，（<）函数-即有如下的形式上式中2是系数元素3的方阵。1中的每一454个元素均满足方程：-（"，#）&%.!#*#%（，#）$#"）$&"#"（6!"6#/·!，（5）%16·16·7&(（=）&.!#!（66&$!&#），式（5）中.为常数，./为系数.组成的列$$上式中&为全体所取数据
