数学人教版九年级上册复习圆中垂直的弦

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1、专题研究：圆内两条相互垂直的弦（整理稿）中心发言人：季成问题一：如图，在⊙O中，AB⊥CD，∠BOC=480，求∠AOD的度数。切入点：求圆心角∠AOD的度数，可以转化求圆周角∠ABD的度数，因为AB垂直于CD，可以求圆周角∠BDC的度数，而∠BDC的度数可以通过圆心角∠BOC来求。总结和拓展：只要AB垂直于CD，∠AOD与∠BOC就是互补的,即∠AOD+∠BOC=1800。问题二：如图，在⊙O中，AB⊥CD，连接AD，过O点作OE⊥AD于E，求证：OE=。切入点（1）：因为∠AOD+∠BOC=1800，过圆心作OF⊥BC，连接OA、OB、OC、OD，则

2、为△AOE≌△DOE≌△BOF≌△COF提供了角的关系，OE=BF=CF=。切入点（2）：因为∠AOD+∠BOC=1800，可以延长AO（或者DO、BO、CO），造∠AOD的另一个补角∠DOF，根据周角的补角相等，有∠BOC=∠DOF，同圆中，圆心角相等，则所对的弦相等，把BC转化成DF，再根据中位线定理，很容易找到OE和BC的数量关系。总结和拓展：上面两种切入点都是根据∠AOD+∠BOC=1800来构造角等，既然BC可以转化成DF，在半径一定的情况下，AD2+BC2=AC2+DF2=AF2=4r2=定值，同理AC2+BD2=4r2。问题三：如图，在⊙O

3、中，AB⊥CD，过点A、B、C、D分别作⊙O的切线，交于E、F、G、H，求证：CHDF=r2切入点：因为∠AOD+∠BOC=1800，连接OA、OB、OC、OD、OH、OF，有∠AOD+∠AFD=1800，从而有∠BOC=∠AFD，则∠OFD=∠HOC，推出△FOD∽OHC，得到结论。总结和拓展：根据∠AOD+∠BOC=1800来构造角等。问题四：如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，点E为上一动点，连接CE、BE、DE，并延长DE至F，求证：BE平分∠CEF。切入点：因为AB是直径，AB⊥CD，连接BD、CD，则有BD=BC，∠BCD=∠

4、BDC，又因为∠BEF=∠BCD，∠BEC=∠BDC，所以∠BEC=∠BEF。总结和拓展：两弦垂直，当有一条弦是直径时，有垂径定理，可以构造等腰三角形。问题五：如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，点E为上一动点，连接CE、DE，过点B作BF⊥DE于F，试判断DF、EF和CE的数量关系，并说明理由。切入点：连接BC、BD，则BC=BD，∠BCE=∠BDE，有了一边一角对应相等，造全等，还差一个条件，可以在DE上截DG=CE，连接BG、BE，构造两边及夹角对应相等，则△BOE≌△BDG，BG=BE，三线合一，推出FE=FG，则DF=FE+CE

5、。总结和拓展：两弦垂直，当有一条弦是直径时，可以构造等腰三角形为全等造对应边等。问题六：如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于F，CE平分∠BCD交AB于E，求证：AC=AE。切入点：AC、AE是同一个三角形的两边，要证AC=AE，可以先证∠ACE=∠AEC。总结和拓展：两弦垂直，当有一条弦是直径时，有垂径定理，造等弧，根据等弧所对的圆周角相等来转换角。问题七：如图，在⊙O中，AB是直径，点H是OA的中点，CD是过点H的弦，且AB⊥CD，点E是上一动点，求证：CE=DE+BE。切入点：连接AC、OC，证明△AOC是等边三角形，从而可以证明证

6、明△BCD是等边三角形，在CE上截EF=DE，连接DE，则△DEF是等边三角形，两个等边三角形绕点D旋转，容易证明△DCF≌△DBE，则BE=CF，推出CE=DE+BE。总结和拓展：半径被弦垂直平分构造等边三角形，老题换新颜，将八年级的全等放在了圆中。问题八：如图，在⊙O中，AB是直径，点H是OA的中点，CD是过点H的弦，且AB⊥CD，点F是上一动点，AF交OC的延长线于G，CO的延长线交⊙O于E，EF交AB于P，求证：OG=OE+OP。切入点：连接AC，证明△AOC是等边三角形，证明△ACG≌△EOP，则OP=CG，推出OG=OC+OP=OE+OP。总

7、结和拓展：与问题七一样，仍是半径被弦垂直平分构造等边三角形。问题九：如图，在⊙O中，AB、CD是直径，且AB⊥CD，点E是上一动点，连接BE、AE，求证：AE+BE=CE。切入点：把AE和BE构在同一直线上，延长EB至F，使BF=AE，用两边及夹角对应相等证△ACG≌△EOP，得△ECF是等腰直角三角形，也可以用两角及夹边对应相等证△ACG≌△EOP，这就要过点C作CF⊥CE交EB的延长线于F，证△ACG≌△EOP是为了解决AE=BF，这两种方式都相当于把△ACE绕点C逆时针旋转了900，同样也可以将△BCE绕点C顺时针旋转了900，当然有CE平分∠AE

8、B，也可以过点C作AE和BE的垂线来解决。总结和拓展：两条垂直的直径相当于把圆四