快速学习奈氏图判断稳定性

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1、4－3奈奎斯特稳定判据第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很困难，前面介绍了基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据。奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性与复变函数位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优

2、点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。1一、幅角定理(Kauthy幅角定理)幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。由于奈氏判据是以幅角定理为依据的，因此有必要先简要地介绍幅角定理。设有一复变函数称之为辅助函数，其中是系统的开环传递函数.通常可写成如下形式式中是系统的开环极点，将式（4-106）代入式（4-105）得比较式（4—107）和式（4—106）可知，辅助函数的零点即闭环传递函数的极点，即系统特征方程的根。因此，如果辅助函数的零点都具有负的实部，即都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。2假设复变函

3、数为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数,也就是说在S平面上除奇点外处处解析，那么，对于S平面上的每一个解析点，在平面上必有一点（称为映射点）与之对应。例如，当系统的开环传递函数为则其辅助函数是除奇点和外，在S平面上任取一点，如则（一）S平面与平面的映射关系3如图4—37所示，在平面上有点与S平面上的点对应,就叫做在平面上的映射点。图4-37S平面上的点在F（S）平面上的映射4如图4—38所示，如果解析点在S平面上沿封闭曲线（不经过的奇点）按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数在平面上的映射也是一条封闭曲线，但其变化方

4、向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数的性质而定。图4-38S平面到F(s)平面的映射5（二）幅角定理（映射定理）设在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线s，并使s不通过的奇点，则S平面上的封闭曲线s映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线F。当解析点s按顺时针方向沿s变化一周时，则在平面上，F曲线按逆时针方向绕原点的周数N等于封闭曲线s内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即N=P-Z（4—108）式中，若N>0，则F按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<0，则

5、F按顺时针绕F(s)平面坐标原点N周；且若N=0，则F不包围F(s)平面坐标原点。在图4—38中,在S平面上有三个极点P1、P2、P3和三个零点Z1、Z2、Z3。被s曲线包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极点只有P2，即P=1，由式（4—108）得N=P-Z=1-2=-1说明s映射到F(s)平面上的封闭曲线F顺时针绕F(s)平面原点一周。由幅角定理，我们可以确定辅助函数被封闭曲线s所包围的极点数P与零点数Z的差值P-Z。6前面已经指出，的极点数等于开环传递函数的极点数，因此当从平面上确定了封闭曲线F的旋转周数N以后，

6、则在S平面上封闭曲线s包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出来Z=P-N（4-109）封闭曲线s和F的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单说明。设有辅助函数为（4-110）其零、极点在S平面上的分布如图4—39所示，在S平面上作一封闭曲线s,s不通过上述零、极点，在封闭曲线s上任取一点,其对应的辅助函数的幅角应为(4-111)7当解析点s1沿封闭曲线s按顺时针方向旋转一周后再回到s1点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线s外面的辅助函数的

7、零、极点指向s1的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲线s内的辅助函数的零、极点指向s1的向量都按顺时针方向转过2pi弧度（一周）。这样，对图4—39（a），Z=1，P=0，，即N=－1，绕平面原点顺时针旋转一周；对图4—39（b），Z=0，P=1，，即N=1，绕平面原点逆时针旋转一周；对图4—39（c），Z=1，P=1，，即N=0，不包围平面原点。将上述分析推广到一般情况则有（4-112）由此得到幅角定理表达式为N=P-Z（4-113）图4-39Fs8图4-39图4-399二、基于辅助函数的奈氏判据为了分析反馈控制系统的稳定性，只须

8、判断是否存在S平面右半部的闭环极点。为此，在S平面上作一条完整的封闭曲线s，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。如图4—40所示，该曲线包括S平面的整个虚轴（由到）及右半平面上以原点为圆心，