5、卷,理13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 . 解析:因为y=2ln(x+1),所以y'=.令x=0,得y'=2,由切线的几何意义得切线斜率为2,又切点(0,0),所以切线方程为y=2x.答案:y=2x316.(2018·全国Ⅲ卷,理14)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 解析:因为y'=(ax+a+1)ex,所以当x=0时,y'=a+1,所以a+1=-2,得a=-3.答案:-37.(2018·全国Ⅰ卷,理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x
6、,则f(x)的最小值是 . 解析:f'(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).因为cosx+1≥0,所以当cosx<时,即x∈+2kπ,+2kπ,k∈Z,f'(x)<0,f(x)单调递减;当cosx>时,+2kπ,+2kπ,k∈Z,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=+2kπ,k∈Z,sinx=-,cosx=,f(x)有最小值.又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),所以f(x)min=2×-×1
7、+=-.答案:-8.(2018·全国Ⅰ卷,理21)已知函数f(x)=-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:2,令f'(x)=0得,31x=或x=.当x∈0,∪,+∞时,f'(x)<0;当x∈,时,f'(x)>0.所以f(x)在0,,,+∞上单调递减,在,上单调递增.(2)证明:由(1)知,f
8、(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.由于=--1+a=-2+a=-2+a,所以