维图形变换与裁剪

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1、计算机图形学与数字地图第5章二维图形变换与裁剪Email：yujieqing@cumt.edu.cn余接情第5章二维图形变换与裁剪5.1二维图形变换5.2二维图形裁剪5.3二维图形求交5.4地图中的变换5.1二维图形变换5.1.1二维图形变换基本原理5.1.2基本几何变换的解析表示5.1.3几何变换的齐次坐标表示5.1.4组合变换在计算机绘图应用中，经常要实现从一个几何图形到另一个几何图形的变换。例如，将图沿某一方向平移一段距离；将图形旋转一定的角度；或将图形放大；反之把图形缩小等等。这些图形变换的效果虽然各

2、不相同，本质上却都是依照一定的规则，将一个几何图形的点都变为另一个几何图形的确定的点，这种变换过程称为几何变换。二维平面图形的几何变换是指在不改变图形连线次序的情况下，对一个平面点集进行的线性变换。5.1.1二维图形变换基本原理二维平面图形变换的结果有两种，一是使图形产生位置的改变；另一种是使图形产生变形，例如把图形放大。对二维图形进行几何变形有五种基本变换形式，它们是：平移、旋转、比例、对称和错切。二维图形变换二维图形顶点的变换平面上有一直线段AB，将它分别沿X方向，Y方向平行移l个单位后，得到直线段A’

3、B’，假设AB两端点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），如下图所示，我们来验证，只要对AB的两端点进行同样的平移变换，就可得到变换后的直线A'B'。5.1.1二维图形变换基本原理对AB的两端点（x1，y1）（x2，y2）进行平移，得：由（x1’，y1’）,(x2’，y2’）组成一条新的直线段A’B’其方程为：即（4－22）5.1.1二维图形变换基本原理在原直线段AB上任取一点（x*，y*）,显然满足直线段AB的方程：对（x*，y*）作同样的平移变换：将（x*'，y*'）代入新的直线A'B'的方程（4-2

4、2）中，(4－23)5.1.1二维图形变换基本原理(4－22)结论：对直线段进行平移变换只要其端点进行同样的变换。用同样的方法，可进一步证明：对直线段进行比例旋转、反射、错切等其它几何变换也只要对该直线段的端点进行同样的变换。当对组成图形的所有直线段作同一几何变换后，对这一幅图形便作了相同的几何变换，所以，对图形进行几何变换只要对其所有直线段进行同样的几何变换，而对直线段的几何变换又归结为对端点的几何变换，因此，我们说，对图形作几何变换，其实质是对点的几何变换。5.1.1二维图形变换基本原理l）平移变换平面上

5、一点P（x，y），如果在X轴方向的平移增量为tx，在Y轴方向平移增量为ty时，则平移后所得新点P'(x'，y')坐标表达式为：x'=x+tx，y'=y+ty我们把这一变换称为平移变换。5.1.2基本几何变换的解析表示平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状P（x，y）P'(x'，y')xytxty2）比例变换一个图形中的坐标点（x，y），若在X轴方向有一个比例系数Sx，在Y轴方向有一个比例系数Sy，则该图形的新坐标点（x'，y'）的表达式为x'=xSxy'=ySy；这一变换称为比例变换。比例变换不仅改

6、变图形的位置，而且改变图形的大小5.1.2基本几何变换的解析表示(1)当时，为恒等比例变换，即图不变；(2)当时，图形沿两坐标轴方向等比例缩小；(3)当时，图形沿两个坐标轴方向等比例放大；(4)当时，图形沿两个坐标轴方向作非均匀的比例变化。x'=xSxy'=ySy；5.1.2基本几何变换的解析表示3）旋转变换若图形中的坐标点（x，y）绕坐标原点逆时针旋转一个角度θ,则可得到图中所示的(x’,y’),该变换被称为旋转变换。(x,y)(x’,y’)xy变换后的新坐标（x‘，y’）与变换前的坐标(x，y)的关系为：

7、x'=xcosθ-ysinθy'=xsinθ+ycosθ旋转变换只能改变图形的方位，而图形的大小和形状不变，5.1.2基本几何变换的解析表示4）对称变换如果经过变换后所得到的图形与变换前的图形关于X坐标轴是对称的，则称此变换为关于X轴的对称变换。经过这一变换后的坐标点（x'，y'）与变换前的对应坐标点（x，y）的关系为：x'=x，y'=-yY轴的对称变换：x'=-x，y'=y中心对称变换：x'=-x，y'=-y对称变换只改变图形方位，不改变其形状和大小。5.1.2基本几何变换的解析表示5）错切变换如果变换前坐

8、标点（x，y）与变换后对应的新坐标点（x'，y'）的关系为：x'=x+cy，y'=y我们称这一变换为沿X轴的错切变换，式中c为错切系数。若变换前后对应点的坐标关系为：x'=x，y'=y+bx则称此变换为沿Y轴的错切变换，其中b为错切系数。错切变换不仅改变图形的形状，而且改变图形的方位，但图形中的平行关系不变。5.1.2基本几何变换的解析表示平移、比例、旋转、对称和错切变换统称为基本的图形变换，绝大部