线性系统的频域分析

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1、自动控制原理杭州电子科技大学“自动控制原理”精品课程课题组2009.112006年度浙江省精品课程5.4频域稳定判据和系统的相对稳定性引言映射定理（幅角定理）Nyquist稳定判据虚轴上有开环极点的Nyquist稳定判据对数频率稳定判据系统的相对稳定性和稳定裕度引言控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需要解决的首要问题。两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据（简称乃氏判据）和对数频率稳定判据。Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性；对数频率稳定判据根据开环对数频率特性曲线判断闭环系统稳定性；两种频率稳定判据没有本质区别。频

2、域稳定判据的特点：根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性。Nyquist稳定判据的优点图解法、几何判据，简单、直观、计算量小（劳斯/赫尔维茨判据是代数判据）。可以不必知道系统的微分方程和传递函数，而只依靠解析法或实验法获得的开环频率特性便可应用。有助于建立相对稳定性的概念。Nyquist判据的数学基础：复变函数论中的映射定理，又称幅角定理。一、映射定理（幅角定理）1.s平面和F(s)平面之间的映射关系设有一复变函数s为复变量，以s复平面上的s=σ+jω表示。F(s)为复变函数，记F(s)＝U+jV。假设s平面上除了

3、有限奇点之外的任一点s，复变函数F(s)为解析函数，那么，对于s平面上的每一解析点，在F(s)平面上必定有一个对应的映射点（s平面和F(s)平面之间的对应关系）。因此，如果在s平面画一条封闭曲线Γs，并使其不通过F(s)的任一奇点，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线ΓF，如下图所示s平面与F(s)平面的映射关系两点说明：若在s平面上的封闭曲线Γs是沿着顺时针方向运动的，则在F(s)平面上的映射曲线ΓF的运动方向可能是顺时针的，也可能是逆时针的，这取决于F(s)函数的特性;我们感兴趣的不是映射曲线ΓF的形状，而是它包围坐标原点的次数和运动方向

4、，因为这两者与系统的稳定性密切相关（都与F(s)的相角变化有关系）。2.复变函数F(s)的相角表示及其变化复变函数F(s)的相角可表示为假定在s平面上的封闭曲线Γs包围了F(s)的一个零点z1，而其他零极点都位于封闭曲线之外；当s沿着s平面上的封闭曲线Γs顺时针方向移动一周时，向量(s－z1)的相角变化－2π弧度，而其他各相量的相角变化为零；这意味着在F(s)平面上的映射曲线ΓF沿顺时针方向围绕着原点旋转一周，也就是向量F(s)的相角变化了－2π弧度。封闭曲线包围z1时的映射情况若s平面上的封闭曲线Γs包围着F(s)的Z个零点，则在F(s)平面上

5、的映射曲线ΓF将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周；用类似分析方法可以推论，若s平面上的封闭曲线Γs包围了F(s)的P个极点，则当s沿着Γs顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线ΓF将按逆时针方向围绕着原点旋转P周。3.映射定理映射定理：设s平面上的封闭曲线Γs包围了复变函数F(s)的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点，则当复变量s沿封闭曲线Γs顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线ΓF按逆时针方向包围坐标原点P－Z周。可见，F平面上曲线绕原点的周数和方向与s平面上封闭曲线包围F(s)的零极点数目有关。二

6、、Nyquist稳定性判据1.辅助函数设系统的开环传递函数称如下F(s)为辅助函数辅助函数特点：辅助函数是闭环与开环特征多项式之比。F(s)的零点为系统特征方程的根（闭环极点）s1、s2、…sn，而F(s)的极点则为系统的开环极点p1、p2、…pn。F(s)的零点和极点个数相同。F(s)与开环传函只差1。闭环系统稳定的充分和必要条件是，特征方程的根，即F(s)的零点，都位于s平面的左半部。2.乃氏回线为了判断闭环系统的稳定性，需要检验F(s)是否有位于s平面右半部的零点。Nyquist回线(简称乃氏回线)：一条包围整个s平面右半部的按顺时针方向运

7、动的封闭曲线。乃氏回线由两部分组成：一部分是沿着虚轴由下向上移动的直线段Cl，在此线段上s＝jω，ω由－∞变到＋∞。另一部分是半径为无穷大的半圆C2。如此定义的封闭曲线肯定包围了F(s)的位于s平面右半部的所有零点和极点。3.Nyquist稳定判据设复变函数F(s)在s平面的右半部有Z个零点和P个极点。根据映射定理，当s沿着s平面上的乃氏回线移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线CF将按逆时针方向围绕坐标原点旋转N=P－Z周。由于闭环系统稳定的充要条件是，F(s)在s平面右半部无零点，即Z＝0。因此可得以下的稳定判据:Nyquist稳定判据（第一

8、种表述方法）:如果在s平面上，s沿着乃氏回线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线CF围绕坐标原点按逆时针方向旋转N=P周，则