《牛顿迭代法》PPT课件(I)

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1、牛顿迭代法Newton迭代格式Newton迭代法的收敛性弦截法迭代格式数值实验题介绍初值:x1=1.5迭代格式:xn+1=0.5(xn+2/xn)(n=1,2,·····)平方根算法求xnError1.4166666666666672.45e-0031.4142156862745102.12e-0061.4142135623746901.59e-0121.4142135623730952.22e-0161.4142135623730952.22e-016牛顿(Newton)迭代法基本思想：将方程f(x)=0中函数f(x)线性化,以线性方程的解逼近非线性方程的解.设函数f(x)

2、在有根区间[a,b]二次连续可微,则f(x)在x0处的泰勒展开式为:只取关于x线性项，有设，其解记为(*)牛顿迭代法的几何意义yxOx0x1x2图2.3牛顿迭代法在单变量情况下又称为切线法.(*)迭代格式(*)称为牛顿迭代法.构造迭代格式：设C>0,x2–C=0令f(x)=x2–C,则应用——求正数平方根算法例1设C>0，证明由迭代格式(n=0，1，……)产生的迭代序列{xn}，对任意的x0>0，均收敛于;且具有2阶收敛速度。分析：由迭代格式，有证明：由迭代格式，有等式两端同减，配方得同理有将上面两式相除有反复递推，得令则有化简得由此可知,平方根迭代具有2阶收敛速度Newto

3、n迭代法的局部收敛性定理2.7设f(x)在点x*的某邻域内具有二阶连续导数,且设f(x*)=0,f’(x*)≠0,则对充分靠近点x*的初值x0,Newton迭代法至少平方收敛.所以,Newton迭代法至少平方收敛。例2.求f(x)=xex–1=0在x0=0.5附近的根解:迭代格式为(n=0,1,·····)f=inline('x*exp(x)-1');f1=inline('(x+1)*exp(x)');x0=0.5;er=1;k=0;whileer>0.00001x=x0-f(x0)/f1(x0);er=abs(x-x0)x0=x;k=k+1endx=0.5671k=4er

4、=1.2347e-010缺陷1.被零除错误2.程序死循环y=arctanx方程:f(x)=x3–3x+2=0在重根x*=1附近,f’(x)近似为零对f(x)=arctanx存在x0,Newton迭代法陷入死循环例3用牛顿迭代法解方程f（x）=x3–x–3=0.x1=–3，x2=–1.9615，x3=–1.1472，x4=–0.0066，……数列中的项以四项为一个周期重复（死循环）.取x0=0,(n=0,1,·····)例4用牛顿迭代法解方程f（x）=xe–x=0.初值取x0=2，x1=4，x2=5.33333，……，x15=19.72354943，……f（x15）=0.000

5、0000536f’<0,f”>0f’>0,f”>0f’>0,f”<0f’<0,f”<0牛顿迭代法收敛的四种情况定理:若函数f(x)在[a，b]上满足条件则方程f(x)=0在[a，b]上有唯一根x*，且由初值x0按牛顿迭代公式求得的序列{xn}二阶收敛于x*。（1）f(a)f(b)<0；（2）f’(x)，f”(x)在[a，b]上连续且不变号（恒为正或恒为负）；（3）取x0∈[a，b]使得f(x0)f”(x0)>0。设x*是方程f(x)=0的根,x0和x1是x*附近的两个点.Newton迭代法的变形－弦截法曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))和点(x1,f(x1))处的割线与

6、X轴交点f(x)=0(n=1,2,·······)例2.8确定悬链线方程已知y(50)=y(0)+10求解方程:a=126.6324f=inline(‘u.*cosh(50/u)-u-10');a0=120;a=150;k=1;y0=f(a0);y=f(a);whileabs(a0-a)>0.0001t=a-y*(a-a0)/(y-y0);a0=a;y0=y;a=t;y=f(a);k=k+1;endAnsK=6,a=126.6324f=inline('u.*cosh(50/u)-u-10');f1=inline('cosh(50/u)-50*sinh(50/u)/u-1')

7、;a0=150;y0=f(a0);k=1;er=1;whileer>0.0001t=a0-f(a0)/f1(a0);er=abs(t-a0);a0=t;k=k+1;endAnsK=6,t=126.6324割线法:切线法:3．计算重根的牛顿迭代法如果x*为f(x)的m重零点，此时有显然x*为的单根，相应的牛顿迭代格式：该迭代格式具有至少二阶收敛性质，但不知道重数m，因而难以直接使用.3．计算重根的牛顿迭代法利用f(x)的重根分解式，得得到修正的牛顿迭代法:该迭代格式至少是二阶收敛牛顿迭代法的收敛域问题:用