线面平行证法探讨

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1、线面平行证法探讨惠来一中方文湃今年我校高一级第一学期质检考试试题第17题第一小题的题目如下：题目：如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB。求证：DM∥面PBC这是一道证明线面平行的经典题目，大家知道，线线平行、线面平行、面面平行在一定条件下，是可以相互转化的。其关系如下图：线∥线线∥面面∥面一、转化为线线平行证明线面平行的一种方法思路，是转化为线线平行，其关键是在已知平面内找到一条直线与之平行，而“DM∥面PBC”(线面平行)是待证的正确结论，过已知直线DM的任一截面与平面PB

2、C的交线显然均与直线DM平行。这就给我们指出了找“线线平行”的平行线的一条康庄大道，所以“线线平行”与“线面平行”是可以互相转化的，辅助截面是实现这一转化的“桥梁”。接下来的问题，是怎样作出辅助截面。其理论依据有“两平行线确定一个平面”、“两相交线确定一个平面”。于是有下面两种不同解法：[法一]：运用“两平行线确定一个平面”做出辅助截面。4惠来一中数学科组方文湃过M作MN∥AB，交PB于N，连结CN。∵MA∥PB，∴ABNM是平行四边形即MN∥AB，MN=AB∵DC∥AB，DC=AB∴MN∥DC，M

3、N=DC即DCNM是平行四边形∴DM∥CN，∵CN面PBC，DM面PBC，∴DM∥面PBC[法二]运用“两相交直线确定一个平面”做出辅助截面。若PB=MA，易证DM∥CP，从而DM∥面PBC；若PBMA，设PM∩BA=E，ED∩BC=F（如图所示）。∵MA∥PB，AD∥BC∴EM：EP=EA：EB=ED:EF∴DM∥FP，∵FP面PBC，DM面PBC∴DM∥面PBC小结：线面平行找平行线，辅助截面来帮忙。二、转化为面面平行证明线面平行的的另一种方法思路，是转化为面面平行，其关键是在过已知直线的平面中

4、找到一个平面与已知平面平行。而证明“面面平行”的一种方法是，寻找“线线平行”证“线面平行”，得出“面面平行”，再由“面面平行”得出“DM∥面PBC”(线面平行)。所以“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”4惠来一中数学科组方文湃是相互密切、相互转化的关系。[法三]：∵MA∥PB，AD∥BCPB面PBC，MA面PBC，BC面PBC，AD面PBC∴MA∥面PBC，AD∥面PBC∵MA∩AD=A∴面MAD∥面PBC∵DM面MAD∴DM∥面PBC[法四]：对于本题，转化为面面平行的一种比较方便的方法是证明

5、两个平面MAD、PBC同垂直于同一条直线AB（略）三、向量工具自从新教材引入向量，向量作为解决几何问题一个行之有效的工具，由于避开了几何繁琐的推理过程，而受到同学们的青睐。向量来解决几何问题首先必须将几何问题转化为向量的运算，最后还要将运算结果翻译几何的结论。[法五]：容易证明AB⊥PB，AB⊥BC，所以是平面PBC的法向量；证明AB⊥平面MAD可得AB⊥MA，于是，故DM∥面PBC[法六]∵MA∥PB，∴存在，使，∵DA∥CB，DA=CB，∴ABCDEFNM即是共面向量，∴DM∥面PBC练习题：如

6、图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且4惠来一中数学科组方文湃求证：MN//平面CDE具体解法，仿照上述。“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。以上各种方法，看似难以想到，毫不相干，其实每一种方法都有它的根源、有它的理论根据。所谓有“果”，必有“因”，找到它的“因”，自然能够修成“正果”。我们在教学中提倡“授之以鱼”，不如“授之以渔”。我们不但要教给学生解题的方法，还要让学生学会解一大类题，融会贯通，达到“举一仿三，触类旁通”的效果，更要让他们理解各种

7、方法的由来，以及其体现的数学思想。4惠来一中数学科组方文湃