第四章 留数定理习题梁昆淼数学物理方法

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1、第四章留数定理1.函数在的奇点类型为本性奇点，其留数为1/2。2.设为整数,则0。3.函数有____1___个极点，为_____1____阶极点，在极点处的留数为____________－2____________。4.为的单极点，则为__________________。5.函数在的奇点类型为可去奇点，其留为06.函数有________个极点，为__________阶极点；在极点处的留数为________________________。7.为的。A)单极点B)二阶极点C)三阶极点D)四阶极点8.已

2、知函数，试判断是的几阶极点，然后计算、和在的留数，再利用所得结果给出在的邻域上洛朗展开级数的前三项。(注意：此题亦可用的泰勒展开直接求出的洛朗展开的前几项，然后利用所得结果求出留数。)9.求函数的奇点所在的位置，然后计算积分。10.用留数定理计算复积分。解：回路内有两个一阶极点（2分）其留数为（2分）。11.用留数定理计算实积分解：设则（2分）于是，（2分）的零点其中只有为单位圆内一阶极点（2分），其留数为（2分）由留数定理得（2分12.用留数定理计算复积分。解：被积函数有两个极点对积分有贡献：单极点

3、，两阶极点。留数分别为---(6分)根据留数定理得13.用留数定理计算实积分。解：根据留数定理有：在上半平面所有奇点留数之和｝---(2分)所以14.用留数定理计算复积分解：由题意被积函数，有一个二阶极点和一个单极点。（3分）又因为二阶极点不在积分回路之内，所以现在只考虑单极点，即（5分）所以复积分（2分）15.用留数定理计算实积分。解：由题意而（1）（2）（2分）对于（1）式中，积分函数有两个单极点，在上半平面，而在的留数为（3分）对于（2）积分中的函数有两个单极点，函数在的留数为（3分）所以（2分

4、）16.用留数定理计算复积分。解：回路内有一个二阶极点和一个单极点（2分）其留数为和　（6分）（2分）。17.用留数定理计算实积分。解：根据留数定理有：在上半平面所有奇点留数之和｝(2分)所以(3分)(3分)(2分)18.用留数定理计算复积分。19.用留数定理计算实积分。20.用留数定理计算积分。解：被积函数在积分围线内有两个极点：单极点，两阶极点。---(2分)留数分别为---(3分)和---(3分)根据留数定理得---(2分)用留数定理计算实积分。解：----------------(2+2+2=

5、6分)根据留数定理得----------------(2+1+1=4分)