梁昆淼_数学物理方法

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1、回顾泛定方程的分类数学物理定解问题：波动方程稳定场方程输运方程泛定方程定解条件条件（本质）7.2定解条件定解条件的分类定解条件的本质：初始条件衔接条件边界条件数学上，变通解为特解；物理上，反映个体的特殊性。（体系的历史）（体系所处环境）（体系内部各部分间的关系）对于输运方程一、初始条件初始条件要求已知对于波动方程初始条件要求已知位移速度7.2定解条件x=l/2xyx=lhx0位移满足速度满足例二、边界条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件如两端固定弦,端点位移x=l/2xyx=lhx01、

2、第一类边界条件如细杆热传导端点温度l0x（如扩散端点浓度）A）、如细杆的纵振动，x=a处受力f(t)2、第二类边界条件如杆端自由f(t)=0a0x如细杆热传导端点有热量流出如细杆热传导端点有热量流入B）、热传导0xa如细杆热传导，一端自由冷却则热流强度与杆端u

3、x=a和周围介质温度差有关系3、第三类边界条件0xax=0处0xa三、衔接条件x0xy0例1：半径为a,表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射，阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为M，写出热传导的边界条件。解：xy阳光照射，流出圆柱的热量为由于温

4、度梯度，流出圆柱的热流为xy设柱面外温度为u0柱面温度u

5、=a由牛顿冷却定律令当M=0，m=0xy例2：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、比热、密度分别为kI,cI,I,kII,cII,II,初始温度为u0,然后保持两端温度为零，写出热传导问题的定解方程。解：第一段第二段衔接条件：温度相等热流相等7.4达朗贝公式、定解问题（一）、达朗贝公式考虑弦的振动方程表示为：或：令：令：对积分再积分表示以速度a沿x正负方向的行波函数f1和f2的确定考虑定解问题求导有积分有例：求定解问题例：求定解问

6、题例：求一端固定弦的振动情况（反射波定解问题）代入初始条件Ox（二）、端点反射代入边界条件令（1）、xat,即x-at0（2）、xat,即x-at0物理意义：为讨论方便计设初速为0解与达朗贝尔解一致，说明端点的影响未传到。Oxx=0处为波节。x=0处入射波与反射波位相相反，有半波损失。为入射波。为反射波。（三）、延拓半无限长问题求解中有提示无限长杆u(x,t)是奇函数提示无限长杆初始位移(x)和初始(x)是奇函数称为沿拓例：求解半无限长问题杆端点自由，相对伸长量为0提示无限长杆u(x,

7、t)是偶函数提示无限长杆初始位移(x)和初始(x)是偶函数沿拓例：求定解问题考虑初始条件与半无限长，这一扰动产生的波沿x正向解：由边界条件令其中若（四）、达朗贝解的适定性考虑初始条件有两组，差别微小(x)有直到二阶导数，(x)有直到一阶导数，达朗贝解存在1、达朗贝解的存在性2、达朗贝解的稳定性达朗贝解的稳定解：或：例：求定解问题方程变化为令令：其中A、B为常数修改为代入边界条件令：解：例：求定解问题方程（1）对t求导后减去（1）对x求导变化为（1）解为即代入（1）式有代入边界条件由（2）式

8、有（2）（3）由（3）式有