应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答

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1、应用多元统计分析第二章部分习题解答1第二章多元正态分布及参数的估计2-1设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知试求Y=AX+d的分布.解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),其中：2第二章多元正态分布及参数的估计2-2设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中（1）试证明X1+X2和X1-X2相互独立.（2）试求X1+X2和X1-X2的分布.解:(1)记Y1＝X1+X2＝(1,1)X,Y2＝X1-X2＝(1,-1)X，利用性质2可知Y1,Y2为正态随机变量。又故X1+X2和X1-X2相互独立.3第二

2、章多元正态分布及参数的估计或者记由定理2.3.1可知X1+X2和X1-X2相互独立.4第二章多元正态分布及参数的估计(2)因5第二章多元正态分布及参数的估计2-3设X(1)和X(2)均为p维随机向量,已知其中μ(i)(i＝1，2)为p维向量,Σi(i＝1，2)为p阶矩阵，(1)试证明X(1)+X(2)和X(1)-X(2)相互独立.(2)试求X(1)+X(2)和X(1)-X(2)的分布.解:(1)令6第二章多元正态分布及参数的估计由定理2.3.1可知X(1)+X(2)和X(1)-X(2)相互独立.7第二章多元正态分布及参数的

3、估计(2)因所以注意:由D(X)≥0,可知(Σ1-Σ2)≥0.8第二章多元正态分布及参数的估计2-11已知X=(X1,X2)′的密度函数为试求X的均值和协方差阵.解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ129第二章多元正态分布及参数的估计类似地有10第二章多元正态分布及参数的估计011第二章多元正态分布及参数的估计所以故X=(X1,X2)′为二元正态分布.12第二章多元正态分布及参数的估计解二:比较系数法设比较上下式相应的系数,可得:13第二章多元正态分布及参数的估计故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且解三:两次配方法

4、14第二章多元正态分布及参数的估计即设函数是随机向量Y的密度函数.15第二章多元正态分布及参数的估计(4)由于故(3)随机向量16第二章多元正态分布及参数的估计2-12设X1~N(0,1),令证明X2~N(0,1);证明(X1,X2)不是二元正态分布.证明(1):任给x,当x≤-1时当x≥1时,17第二章多元正态分布及参数的估计当-1≤x≤1时,(2)考虑随机变量Y=X1-X2,显然有18第二章多元正态分布及参数的估计若(X1,X2)是二元正态分布,则由性质4可知,它的任意线性组合必为一元正态.但Y=X1-X2不是正态分布,故(

5、X1,X2)不是二元正态分布.19第二章多元正态分布及参数的估计2-17设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面f(x;μ,Σ)=a是一个椭球面.(2)当p=2且(ρ>0)时，概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆的方程式，长轴和短轴.证明(1):任给a＞0,记20第二章多元正态分布及参数的估计令,则概率密度等高面为(见附录§5P390)21第二章多元正态分布及参数的估计故概率密度等高面f(x;μ,Σ)=a是一个椭球面.(2)当p=2且(ρ>0)时,由

6、可得Σ的特征值22第二章多元正态分布及参数的估计λi(i=1,2)对应的特征向量为由(1)可得椭圆方程为长轴半径为方向沿着l1方向(b>0);短轴半径为方向沿着l2方向.23第二章多元正态分布及参数的估计2-19为了了解某种橡胶的性能，今抽了十个样品，每个测量了三项指标：硬度、变形和弹性，其数据见表。试计算样本均值，样本离差阵，样本协差阵和样本相关阵.解：24第二章多元正态分布及参数的估计25