第4章第4课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象

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1、第4章第4课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象一、选择题1.(2011·琼海模拟)将函数y=sin2x的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图像的函数解析式是(  )A.y=cos2x       B.y=2cos2xC.y=1+sinD.y=2sin2x答案:B2.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s=6sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为(  )A.2πs   B.πs   C.0.5s   D.1s解析:来回摆动一次所需时间即周期T==

2、1s.答案:D3.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,则(  )A.f(x-1)一定是奇函数B.f(x-1)一定是偶函数C.f(x+1)一定是奇函数D.f(x+1)一定是偶函数解析:由已知,得f(x)的图像关于x=1对称,所以左移一个单位后关于y轴对称,为偶函数,即f(x+1)是偶函数.答案:D4.(2011·聊城模拟)函数y=2sin(x∈[0,π])为增函数的区间是(  )A.B.C.D.解析:∵y=2sin=-2sin,∴由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ+

3、≤x≤kπ+(k∈Z).又x∈[0,π],∴≤x≤.答案:C5.(2011·莱芜模拟)若函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图像的一条对称轴,则它的解析式是(  )A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2解析:∵∴∵T=,∴ω==4.∴y=2sin(4x+φ)+2.∵x=是其对称轴,∴sin=±1.∴+φ=+kπ(k∈Z).∴φ=kπ-(k∈Z).当k=1时,φ=.∴y=2sin+2.答案:D6.已知函数f(x)=sin(x∈R

4、,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图像,只要将y=f(x)的图像(  )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度解析:因为T=π,所以ω==2,f(x)=sin,g(x)=cos2x,将y=f(x)的图像向左平移个单位长度时,y=sin=sin=cos2x.答案:A二、填空题7.函数y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图像如图所示,则ω=__________.解析:由函数y=Asin(ωx

5、+φ)的图像可知,=-=,∴T=.∵T==,∴ω=3.答案:38.(2008·全国Ⅱ改编)若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M、N两点,则

6、MN

7、的最大值为__________.解析:设x=a与f(x)=sinx的交点为M(a,y1),x=a与g(x)=cosx的交点为N(a,y2),则

8、MN

9、=

10、y1-y2

11、=

12、sina-cosa

13、=

14、sin

15、≤.答案:9.(2011·云浮模拟)若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在上单调递增,则ω的最大值为__________.解析:

16、∵f(x)在上递增,故⊆,即≥.∴ωmax=.答案:三、解答题10.(2010·山东)已知函数f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ-sin(0<φ<π),其图像过点.(1)求φ的值;(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)在上的最大值和最小值.解析:(1)f(x)=sin2xsinφ+cosφ-cosφ=(sin2xsinφ+cos2xcosφ)=cos(2x-φ).又∵f(x)过点,∴=cos,cos=1.由0<φ<π,知φ=

17、.(2)由(1)知,f(x)=cos.将f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,变为g(x)=cos.∵0≤x≤,∴-≤4x-≤.当4x-=0,即x=时,g(x)有最大值;当4x-=,即x=时,g(x)有最小值-.11.(2010·广东)已知函数f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π)在x=时取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的解析式;(3)若f=,求sinα.解析:(1)∵f(x)=Asin(3x+φ),∴T=.即f(x)的最小正周期为.

18、(2)∵当x=时,f(x)有最大值4,∴A=4.∴4=4sin,∴sin=1.即+φ=2kπ+,得φ=2kπ+(k∈Z).∵0<φ<π,∴φ=.故f(x)=4sin.(3)∵f=4sin=4sin=4cos2α,由f=,得4cos2α=,∴cos2α=,∴sin2α=(1-cos2α)=,得sinα=±.12.(2010·天津)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x

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