伽利略斜面实验的分析

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1、伽利略斜面实验的分析何述平（西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州730070）摘要：对伽利略斜面实验中的小球进行了较详细的力学分析，指明了小球的受力、运动状态、能量转化，并澄清了相关的模糊认识；同时提出了相应的教学建议．关键词：伽利略斜面实验；力学分析；刚体；静摩擦；教学建议；质点模型伽利略斜面实验是普通物理学中的一个重要理想实验，由于教材体系、学生知识水平的缘故，均对其进行定性分析，以至于小球的受力、运动状态、能量转化不甚清晰，有必要对其进行定量分析而加以明确，并澄清相关的模糊认识．本文就此做些探讨，同时提出相应的教学建议．2伽利略斜面实验伽利略斜面实验[1～

2、3，6]如图1所示，小球沿导轨斜面1，从某高度处静止开始下滚，经导轨最低处，沿导轨斜面2上滚至略小于原高度处而速度为零；然后，再下滚、上滚，如此循环；但每次上滚的高度均略小于下滚时的高度．1引言对上述伽利略斜面实验常见的解释[1～3，6]是：由于小球受到摩擦的缘故；且推理道：若不受摩擦，小球不仅可上滚至相同的高度，而且可沿水平面一直滚动下去．然而，小球究竟受到的是什么摩擦——滑动摩擦、静摩擦、滚动摩擦，还是笼统指三者？又见到对沿水平面无滑滚动时，小球不受静摩擦力的定性讨论[4]；但沿导轨斜面下滚、上滚时，小球的能量转化问题一般很少涉及．同时教学实际中，也见到不少教师

3、仍沿用以上笼统解释．21图1伽利略斜面实验3力学分析3.1动力学分析小球沿斜面1下滚，小球、斜面视作刚体；小球与斜面间的最大静摩擦因数≥时，小球沿斜面做无滑滚动[6]；此时小球受重力、支持力、静摩擦力，如图2所示；建立坐标系o–xyz系，依刚体平面平行运动的动力学方程、无滑滚动方程[5～8]，有（1）（2）（3）（4）oxy图2小球沿斜面下滚时受力图其中为小球半径，为转动惯量．由式（1）～（4），得可见，静摩擦力的作用：一方面使小球质心的平动减速，另一方面使小球绕其质心轴的转动加速．同理，小球沿斜面2无滑上滚，静摩擦力，坐标系o–xyz系，如图3所示，则有（5）（6

4、）（7）（8）（9）oxy图3小球沿斜面上滚时受力图由式（7）～（9）、（4），得（10）（11）易见，静摩擦力的作用：一方面使小球质心的平动加速，另一方面使小球绕其质心轴的转动减速．若斜面2变为水平面，小球做无滑滚动，如图4所示；那么，此时小球受静摩擦力否？为此，只需令式（11）中的，得（12）（13）（14）xyo图4小球沿水平面滚动时受力图式（12）、（13）、（14）表明：小球沿水平面做无滑滚动时，不受静摩擦力的作用；小球的质心匀速平动（相对水平面——惯性系），小球绕其质心轴匀速转动；即小球的运动状态（平动、转动状态）保持不变．3.2能量分析若从能量观（即能

5、量法）分析，可清晰地看到小球的能量转化．如图2所示，依刚体平面平行运动的能量方程（平动能量方程、转动能量方程）、无滑滚动方程[7]，有（15）（16）（17）其中为小球滚下高时质心的位移．由式（15）～（17）、（4），得进而（18）（19）（20）式（19）、（20）表示了小球从静止开始沿斜面1质心下降高时的平动动能和转动动能的量值．综合式（15）、（16）、（19）、（20）可知：重力的作用是使小球质心的平动动能增大；而静摩擦力的作用一方面使小球质心的平动动能减小，另一面使小球绕其质心轴的转动动能增加，且减小的量值与增加的量值相等．因此，静摩擦力不耗损机械能，仅

6、起把平动动能转化成转动动能的作用．同理，对小球沿斜面2上滚，即图3所示情形．可知：小球沿斜面2可上滚到相同的高度；重力的作用是使小球质心的平动动能减小，静摩擦力的作用是使小球绕其质心轴的转动动能转化成小球质心的平动动能．对小球沿水平面做无滑滚动，即图4所示情形．因不受静摩擦力的作用，故小球的平动动能和转动动能不再相互转化，而各自保持不变．4结论上述分析表明：正因为小球受到静摩擦力、的作用才使小球沿斜面下滚、上滚；小球只受静摩擦力作用时，可上滚至相同的高度．因此，笼统解释——小球不受摩擦时可上滚至相同的高度显得不妥；笼统解释仅适用于小球沿水平面滚动的情形．然而，对上述

7、真实的伽利略斜面实验，由于小球、斜面和水平面不是理想的刚体，所以小球还受到一定的滚动摩擦力矩的作用，从而使小球不再沿斜面上滚至原来的高度或沿水平面一直滚动下去；同时伴随着机械能向内能的转化．5教学建议一般，滚动摩擦远小于滑动摩擦；正因为如此，通常用小球来做伽利略斜面实验；但在一定条件下，小球可以沿导轨斜面做无滑滚动，这又不得不将小球视作刚体；而刚体的平面平行运动的内容在基础物理教材中又不涉及或普通物理教材中又未及时返回来探讨，这大概就是以上笼统解释的原因．由上述分析知，只有运用刚体平面平行运动的动力学方程、能量方程才可将伽利略斜面实验中小球的受力、运动状态、能量