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1、汽车行驶问题问题一：曲率限制的停车问题一辆汽车静止于A处，要开到与车身垂直的B处，不能倒车，沿着什么路径行驶路程最短？AB背景知识从A点行驶到B点必须转弯，由于车身有一定长度，转弯不能转得太小，即路径的曲率K不能太大或者曲率半径r不能太小。（可以以火车转弯的轨道来想象）问题二：汽车绕行rxy(x3,y3)汽车从A地出发，到河边取水送往B地，两地之间有一个不能穿越的圆形建筑群（见图），汽车如何行走，才能使得路程最短？(0,y1)A(x2,y2)Bo已知A,B即建筑群中心的坐标都已知，如图所示，建筑群个半径r也已知。建筑群周围就是汽车道路。
2、问题三：停车问题1psALMBCDQRα如图所示，有三个半径为a的圆，其中两个圆的圆心相距2b=4asinα,其中，0<α<π/2.第三个圆与这两个圆相切。做圆A，B的另一侧公切线CD。若汽车的最小转弯半径为a，不能倒车，讨论如下问题。（1）车停于P处，车头朝上，要行驶到S处，什么路径最短？（2）汽车停于L处，车头向上，要行驶到M出车头朝下，最短路径是什么？如果可以倒车？（3）汽车停于C，车头朝上，要行驶到P处车头朝上，什么路径最短，如果可以倒车呢？问题四：停车问题2ABα1α2驾驶一辆车从A处到B处，在A处与AB夹角为α1，到达B出后
3、与AB夹角为α2.如何行驶，路程最短？汽车的最小转弯半径为a。汽车绕行rxy(x3,y3)汽车从A地出发，到河边取水送往B地，两地之间有一个不能穿越的圆形建筑群（见图），汽车如何行走，才能使得路程最短？(0,y1)A(x2,y2)Bo分析汽车从A到B，又要取水，圆形建筑群又不能穿越，不外乎下面几种走法已知A,B即建筑群中心的坐标都已知，如图所示，建筑群个半径r也已知。建筑群周围就是汽车道路。rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC1汽车于建筑群与A之间取水走法1E1E2从A到取水点C1,再走C1E1直线切入圆道(上半圆道)
4、，再沿圆道行至E2，最后由E2相切走直道至B。rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC2汽车于建筑群与B之间取水走法2E1E2汽车从A直道走入E1，再走弯道E1E2，从E2切出，到取水点C2，最后走直道至B。rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC3汽车在建筑群最南端取水走法3E1E2汽车从A到E1，走圆道（下半圆道）至取水点C3,再走圆道至E2，再切出走直线到B。根据假设，方法4优于方法2。模型假设不管走哪条路径，汽车到达圆形建筑群，总是走切线到达，再走圆弧，然后再从圆形建筑群到B点也走切线，这样才可能路程
5、最短。构建模型1、先比较取水方法1和方法3的优劣rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC1E1E2D如上图所示，过B作通过圆心的直线交C1E1于D（如果不相交，C1更加靠左，方法1的距离更远），连接A、D。再过B作切圆于另一点E3，过A作切圆下方于E4。过D作切圆于E5的切线。E3E4C下面来证明方发1距离大于方法3的距离。E5方法3的距离为方法1的距离为下面专门证明AE5E4DpO过圆心O连接E4延长交DE5于P，显然OE4垂直AE4，则显然于是，有《01》由OE5垂直于PE5知《02》而由弧长的计算，由《03》当时，有
6、根据《02》、《03》，得到《04》由《01》、《04》相加，得即《05》2、比较方法2与方法3的优劣rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC2汽车于建筑群与B之间取水走法2E1E2E4E5DPC方法2的行驶距离为仿照上面的证明，有综上所述，方法3取水时，汽车行驶距离最短。3、求方法3取水的汽车行驶距离设∠C3OE1=α,∠C3OE2=β.αβo
7、AO
8、=《06》《07》《08》所以，取水汽车行驶距离为αβo其中，下面针对特殊的A,B,O的取值。对假设的验证ABDEFOα1α2如图所示，从A到B的直线道路AB被一半径为r的
9、圆（圆心在o）阻隔。求A到B的最短路径pQ根据叙述，从A到B没有直线道路，只有走折线或其它曲线。常识：两点间直线距离最短。为了叙述的方便，作如下假设1、由于圆的对称性，设A,B位于同一直线上，如图所示；2、过A与已知圆相切于E,过B与已知圆相切于F;3、设角EOF=α；下面所叙述的过程为了说明走任意曲线APQB，其路程都大于走如下路程注意到OE垂直于AE,OF垂直于BF，则又假设曲线APQB的极坐标方程为（如果曲线不光滑，可以假设其逐段光滑，结果一样）则曲线PQ的长度为《1》由于任意曲线APQB的任意点的半径都大于圆的半径r，则《2》由
10、公式《1》和《2》知曲线APQB即从A到B走AE直线切入圆道EF，然后切出走直线FB.曲率限制的停车问题问题一辆汽车静止于A处，要开到与车身垂直的B处，不能倒车，沿着什么路径行驶路程最短？AB背景知识从A点
