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《第十章 10.3抛物线及其性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、10.3抛物线及其性质考点一 抛物线的定义和标准方程1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,
2、AF
3、=54x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.8答案 A 2.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 . 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)3.(2014福建,21,12分)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P处
4、的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解析 (1)解法一:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线Γ的方程为x2=4y.解法二:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,则
5、y-(-3)
6、-(x-0)2+(y-1)2=2,依题意,知点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3,所以(x-0)2
7、+(y-1)2=y+1,化简得,曲线Γ的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线Γ的方程为y=14x2,设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=14x02,由y'=12x,得切线l的斜率k=y'
8、x=x0=12x0,所以切线l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02.由y=12x0x-14x02,y=0得A12x0,0.由y=12x0x-14x02,y=3得M12x0+6x0,3.又N(0,3),所以圆心C14x0+3x0,3,半径r=12
9、MN
10、=14x0+3x0,
11、AB
12、=
13、AC
14、2-r2=12x0-1
15、4x0+3x02+32-14x0+3x02=6.所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.考点二 抛物线的性质4.(2014安徽,3,5分)抛物线y=14x2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案 A 5.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则
16、AB
17、=( )A.303B.6C.12D.73答案 C 6.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )A.-43B.-1C.-34D.-12答案 C 7.(
18、2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.1728D.10答案 B 8.(2014陕西,11,5分)抛物线y2=4x的准线方程为 . 答案 x=-19.(2014浙江,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,PF=3FM.(1)若
19、PF
20、=3,求点M的坐标;(2)求△ABP面积的最大值.解析 (1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定
21、义知
22、PF
23、=y0+1,得到y0=2,所以P(22,2)或P(-22,2).由PF=3FM,分别得M-223,23或M223,23.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由y=kx+m,x2=4y得x2-4kx-4m=0,于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以x0=-6k,y0=4-6k2-3m,由x02=4y0得k2=-15m+415.由Δ>0,k2≥0,得-1324、AB
25、
26、=41+k2·k2+m,点F(0,1)到直线AB的距离为d=
27、m-1
28、1+k2,所以S△ABP=4S△ABF=8
29、m-1
30、k2+m=16153m3-5m2+m+1.记f(m)=3m3-5m2+m+1-13f43,所以,当m=19时,f(m)取到最大值25
