李庆扬-数值分析第五版第3章习题答案(20130702)

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1、本章习题中有几道题不会做，待再复习时完善。第3章复习与思考题1、设fC[a,b]，写出三种常用范数

2、

3、f

4、

5、,

6、f

7、

8、,

9、f

10、

11、.12答：b

12、

13、f

14、

15、

16、()

17、fxdx1ab2

18、

19、f

20、

21、fxdx()2a

22、

23、f

24、

25、max

26、()

27、fxaxb2、f,gC[a,b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{0,1,…,n}C[a,b]在[a,b]上线性无关？解：f,gC[a,b]，其内积为b(,)fgfxgxdx()()a函数族{0,1,…,n}C[a,b]在[a,b

28、]上线性无关，必须满足矩阵G的行列式不等于0(,11)(,12)...(,1n)(,)(,)...(,)G21222n，detG0。............(,)(,)...(,)n12nnn3、什么是函数fC[a,b]在区[a,b]上的n次最佳一致逼近多项式？解：设px()为最佳逼近函数，则fC[a,b]在区[a,b]上的n次最佳一致逼近多项式n*

29、

30、()fxpx()

31、

32、min

33、

34、()fxpx()

35、

36、n取∞-范数，则*

37、

38、

39、()fxpx()

40、

41、min{max

42、()fxpx()

43、}naxbm4、什么是f在[a,b]上的n次最佳平方逼近多项式？什么是数据fi0的最小二乘曲线拟合？解：设px()为最佳逼近函数，则fC[a,b]在区[a,b]上的n次最佳平方逼近多项式n*22

44、

45、()fxpx()

46、

47、min

48、

49、()fxpx()

50、

51、n取2-范数，则b*22

52、

53、()fxpx()

54、

55、min{()fxpx()}dxna问题：为什么选择不同的范数求解？由于各种范数的收敛性保持一致，因此可以选择最有利于求

56、解的范数进行求解。5、什么是[a,b]上带权(x)的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有什么重要性质？解：设()x是[a,b]上首系数a0的n次多项式，()x为[a,b]上的权函数，如果多项式nn序列()x满足如下关系式n0b0jk(,)()()xx()dxx，jkjkAjkak则称多项式序列()x为在[a,b]上带权()x正交，称()x为在[a,b]的带权()xnn0正交多项式。2n当区间为[-1,1]，权函数()1x

57、，由1,,xx,...x正交化得到的多项式称为勒让德多项式nnd!2nPxn()(x1).n(2n)!dx主要性质有：1）正交性10mnPxPxdx()()2mnmn121n2）奇偶性mP(x)(1)Px()mm3）递推关系(n1)P()x(2n1)xPx()nP(),xn1,2.....n11nn4）Px()在区间[-1,1]上具有n个不同的实零点。n6、什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？解：12n当区间为[-1,1]，权函数()x，

58、由1,,xx,...x正交化得到的多项式称为切比21x雪夫多项式Tx()cos(arccos)nx，n若零xcos()，则Tx()cos(n)n重要性质有1）递推关系T()x2xTx()T(),xn1,2.....n11nnTx()1,()Txx012）正交性0nm1TxTxmn()()dx0.5nm0211xnm03）Tx()只含x的偶次幂，Tx()只含x的奇次幂。2n21n4）Tx()在区间[-1,1]上具有n个零点n21jx

59、cos,j1,2,3....nj2nnn15）Tx()的首项x的系数为2,n1,2,...。n7、用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？答：切比雪夫插值点恰好是单位圆周上等距分布点的横坐标，这些点在横坐标接近区间[-1,1]的端点处是密集的；可使得插值区间最大误差最小化；高次插值时可避免龙格现象，保证在整个区间上都收敛。最大的区别是：切比雪夫多项式与拉格朗日插值多项式对插值点的要求不一致。切比雪夫多项式要求插值点为切比雪夫多项式零点。拉格朗日插值多项式对插值

60、点无特殊要求。8、什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时为什么不直接求解法方程？答：最小二乘拟合的法方程n(k(),xj())xaj((),fxk()),xk0,1,...,.nj0多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，其法方程系数矩阵是高度病态，直接求解法方程是相当困难的。系数矩阵如下：11/2...1/(n1)1/21/3...1/(n2)H............1/(n1)1/(n2)...1/(2n2)9、计算有