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1、实验四快速傅里叶变换（FFT）4.1实验目的1）加深对快速傅里叶变换（FFT）基本理论的理解；2）了解使用快速傅里叶变换（FFT）计算有限长序列和无限长序列信号频谱的方法；3）掌握用MATLAB语言进行快速傅里叶变换时常用的子函数。4.2实验原理1）用MATLAB提供的子函数进行快速傅里叶变换从理论学习可知，DFT是唯一在时域和频域均为离散序列的变换方法，它适用于有限长序列。尽管这种变换方法是可以用于数值计算的，但如果只是简单的按照定义进行数据处理，当序列长度很大时，则将占用很大的内存空间，运算时间将很长。快速傅里叶变换是用于DFT运算的高效运算方法的统称，FF
2、T只是其中的一种。FFT主要有时域抽取算法和频域抽取算法，基本思想是将一个长度为N的序列分解成多个短序列，如基2算法、基4算法等，大大缩短了运算的时间。MATLAB中提供了进行快速傅里叶变换（FFT）的子函数，用fft计算DFT，用ifft计算IDFT。2）用FFT计算有限长序列的频谱基本概念：jω一个序号从n到n的时域有限长序列x()n，它的频谱X()e定义为它的离散时间傅里叶变换，12且在奈奎斯特（Nyquist）频率范围内有界并连续。序列的长度为N，则Nnn=−+1。计算x()n的离21散傅里叶变换（DFT）得到的是X()ejω的N个样本点Xe()jωk。
3、其中数字频率为2πω==kk()dωkN式中：dω为数字频率的分辨率；k取对应－(N－1)/2到(N－1)/2区间的整数。在实际使用中，往往要求计算出信号以模拟频率为横坐标的频谱，此时对应的模拟频率为2π2πΩω==/Tkkk()==()DkksNLTs式中：D为模拟频率的分辨率或频率间隔；Ts为采样信号的周期，Ts＝1/Fs；定义信号时域长度L＝NTs。在使用FFT进行DFT的高效运算时，一般不直接用n从n1到n2的x()n，而是取x()!n的主值区间(n＝0，1，…，N－1)的数据，经FFT将产生N个数据，定位在k＝0，1，…，N－1的数字频率点上，即对应［
4、0，2π］。如果要显示［－π，π］范围的频谱，则可以使用fftshift(X)进行位移。频谱的显示及分辨率问题：例1:已知有限长序列x()n＝［1，2，3，2，1］，其采样频率Fs＝10Hz。请使用FFT计算其频谱。MATLAB程序如下：Fs=10;xn=[1,2,3,2,1];N=length(xn);D=2*pi*Fs/N;%计算模拟频率分辨率k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);%频率显示范围对应[-π,π]X=fftshift(fft(xn,N));%作FFT运算且移位πsubplot(1,2,1);plot(k*D,abs(X),'o:'
5、);%横轴化成模拟频率作幅度谱title('幅度频谱');xlabel('rad/s');subplot(1,2,2);plot(k*D,angle(X),'o:');%横轴化成模拟频率作相位谱title('相位频谱');xlabel('rad/s');由运行结果可知，当有限长序列的长度N＝5时，频谱的频率样本点数也为5，如图上用“。”表示的点位。频率点之间的间距非常大，即分辨率很低。即使使用了plot命令的插值功能，显示出的曲线仍是断断续续的，与真实曲线有较大的误差。改变分辨率的基本方法是给输入序列补零，即增加频谱的密度。注意，这种方法只是改善了图形的视在分辨
6、率，并不增加频谱的细节信息。将上述有限长序列x()n＝［1，2，3，2，1］末尾补0到N＝1000点，将程序改为：Fs=10;N=1000;xn=[1,2,3,2,1];Nx=length(xn);xn=[1,2,3,2,1,zeros(1,N-Nx)];（下同，略）此时程序执行结果可以看出，图形的分辨率提高，曲线几乎是连续的频谱了。实偶序列如何补0问题：例2：已知一个矩形窗函数序列为⎧⎪15n≤x()n=⎨⎪⎩05n>采样周期Ts＝0.5s，要求用FFT求其频谱。解：由于该序列是一个实的偶序列，因而补0时需要仔细分析。假定按N＝32补0，则主值区域在n＝0～3
7、1，FFT的输入应为xn()[ones(1,6),zeros(1,=−N11),ones(1,5)]即原来n=[－5：－1]的前五个点移到n＝[27：31]中去了。下面考虑分别用N=32，64，512，观察不同N值代入对频谱的影响。程序如下：Ts=0.5;C=[32,64,512];%输入不同的N值forr=0:2;N=C(r+1);xn=[ones(1,6),zeros(1,N-11),ones(1,5)];%建立x(n)D=2*pi/(N*Ts);k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);X=fftshift(fft(xn,N));subplot(
8、3,2,2*r+1);p
