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《2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例学案 新人教A版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.5 预习课本P109～112，思考并完成以下问题.(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？(2)如何用向量方法解决物理问题？(3)如何判断多边形的形状？ 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在一
2、些物理量的合成和分解中．(3)动量mv是向量的数乘运算．(4)功是力F与位移s的数量积．1．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则
3、F1＋F2
4、为( )A．(0,5) B．(4，－1)C．2D．5答案：D2．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是( )A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形答案：C173．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________．答案：－11向量在几何中的应用
5、题点一：平面几何中的垂直问题1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.证明：法一：设＝a，＝b，则
6、a
7、＝
8、b
9、，a·b＝0，又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－
10、a
11、2＋
12、b
13、2＝0.故⊥，即AF⊥DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.题点二：平面几
14、何中的平行(或共线)问题2.如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上．证明：设＝m，＝n，由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n，17＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n.∴＝.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．题点三：平面几何中的长度问题3.如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而
15、
16、＝
17、a－b
18、
19、＝＝＝＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，又
20、
21、2＝
22、a＋b
23、2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴
24、
25、＝，即AC＝.用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用 [典例] (1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？(2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．[解] (1)如图，设表示水
26、流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
27、
28、＝
29、
30、＝12.5，
31、
32、＝25，所以∠CAD17＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(
33、－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．[一题多变]1．[变设问]本例(2)条件不变，求F1，F2的合力F为质点所做的功．解：W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：
34、F1，F2分别对该质点做的功．解：＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F1做的功W1＝F1·s＝F1·＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)．F2做的功W2＝F2·s＝F2·＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)． 用向量方法解决物理问题的“三步曲”层级一 学业水平达标1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝( )A．(－1，－2) B．(1，－2)
