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1、2015-2016下期数字信号处理实验指导书实验四FFT算法的应用一、实验目的：1、加深对离散信号的DFT的理解及其FFT算法的运用。2、学会利用matlab编译基2-FFT。二、实验原理：1、定义式N点序列的DFT和IDFT变换定义式如下：，为输入序列对应的N个离散频率点的相对幅度。其中为旋转因子，n为原序列里的某一点，k是DFT过后的序列里的某一点，N为变换的点数。利用旋转因子具有周期性，可以得到快速算法（FFT）。在MATLAB中，可以用函数X=fft（x，N）和x=ifft（X，N）计算N点序列x的DFT正、反变换。2、DFT算法（1）DFT的运算量在所有复指数值的值全部已算好的情
2、况下，要计算一个需要N次复数乘法和N－1次复数加法。算出全部N点共需次复数乘法和N（N-1）次复数加法。复数乘：次，复数加：次。（2）减少DFT运算量的方法：a)将长度N变短。b)利用的性质：周期性：共轭对称性：72015-2016下期数字信号处理实验指导书可约性：3、DFT的快速算法（FFT，FastFourierTransformation）（1）FFT算法首先由Cooly-Tuky提出了“基-2FFT算法”。要求长度N满足（M为整数），若不满足可将序列补零延长，使其满足长度要求。（2）FFT算法分为时间抽取（DIT）和频率抽取（DIF）两大类，其中时间抽取算法是把时间序列x(n)分解
3、为两个长度为N/2点的序列，即偶数序列和奇数序列：r=1,2,…,N/2-1所以DFT运算也分成两部分：【注意由x到x1】由可约性：可知，得：对于某一个k值来言，为常量提出来得：公式（一）这时，和分别为和（n=0，1,2，…，N/2-1）的N/2点DFT，即：（k=0，1,2，…，N/2-1）72015-2016下期数字信号处理实验指导书但是这时只是得到的前N/2个点的DFT。那么后N/2个点的DFT和、：由推得：由周期性可知，以及，所以：公式（二）这样，N点的DFT就可以由两个个点的DFT来计算。三、实验内容：(1)128点实数序列用一个128点DFT程序，一次算出，并绘出。(2)对（1
4、）式，用两个64点的复数FFT程序，一次算出72015-2016下期数字信号处理实验指导书，并绘出。设计流程：A、给出128点的原始序列，并绘图；B、将原始序列分成两个64点的序列，分别是偶数序列和奇数序列；C、分别使用fft函数求这两个64点序列的64点DFT；D、利用公式（一）公式（二）求得原始128点序列的DFT，并绘图，比较参考程序1的图是否一样；E、对D项中的DFT结果，使用ifft函数进行DFT反变换，并绘图。（3）已知某序列在单位圆上的N=64等分样点的Z变换为用N点IFFT程序计算，绘出。四、实验结果：内容提要实验结果内容（1）1参考程序1；N=64;k=0:2*N-1;x
5、=cos(2*pi/N*7*k)+1/2*cos(2*pi/N*19*k);F_128=fft(x);stem(k/128,abs(F_128));title('序列x(k)图形');2参考程序1绘图结果；72015-2016下期数字信号处理实验指导书内容（2）1程序；N=64;x=zeros(1,128);u=zeros(1,128);y=zeros(1,64);y1=zeros(1,64);y2=zeros(1,64);fork=0:2*N-1;x(k+1)=cos(2*pi/N*7*k)+1/2*cos(2*pi/N*19*k);endfork=1:64y1(k)=x(2*k);y2
6、(k)=x(2*k-1);endt1=fft(y1,N);t2=fft(y2,N);form=1:64y(m)=t2(m)+t1(m)*exp(-i*m*2*pi/128);t(m)=t2(m)-t1(m)*exp(-i*m*2*pi/128);endform=1:6472015-2016下期数字信号处理实验指导书u(m)=y(m);u(m+64)=t(m);endk=1:128subplot(3,1,1);stem(k,x);xlabel('k');ylabel('x');title('序列x(k)图形');subplot(3,1,2);stem(k/128,abs(u));title(
7、'序列x(k)FFT图形');v=ifft(u,128);subplot(3,1,3);stem(k,v);title('序列x(k)dft的反变换图形');2绘图结果；内容（3）1参考程序2；m=0:63;N=64;m2=-j*2*pi*m/N;x=1./(1-0.8*exp(m2));subplot(2,1,1);stem(m,x);72015-2016下期数字信号处理实验指导书xlabel('m');ylabel(
