《曲面方程的概念》PPT课件

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1、一、曲面方程的概念二、常见的二次曲面及其方程三、空间曲线的方程四、空间曲线在坐标面上的投影第六节二次曲面与空间曲线第八章向量代数空间解析几何若曲面上的点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0(或z=f(x,y))，而不在曲面上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0(或z=f(x,y))，则称方程F(x,y,z)=0(或z=f(x,y))为曲面的方程.而曲面就称为方程F(x,y,z)=0(或z=f(x,y))的图形.一、曲面方程的概念1.球面方程球心在M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程半径为R的球面方程为球心在原点时，二、常见的二次曲面及其方程半径为

2、1的球面.例1表示怎样的曲面?解原方程两边同时除以2，并将常数项移到等式右端，得配方得所以，原方程表示球心在定曲线C称为柱面的准线.2.母线平行于坐标轴的柱面方程动直线L沿给定曲线C平行移动形成的曲面，称为柱面，动直线L称为柱面的母线，LC柱面的形成由于方程f(x,y)=0不含z，所以点M(x,y,z)也满足方程f(x,y)=0.设M(x,y,z)为柱面上的任一点，过M作平行于z轴的直线交xy坐标面于点由柱面定义可知必在准线C上.所以的坐标满足曲线C的方程f(x,y)=0.而不在柱面上的点作平行于z轴的直线与xy坐标面的交点必不在曲线C上，也就是说不在柱面上的点的坐标

3、不满足方程f(x,y)=0.所以，不含变量z的方程xyzOMLC现在来建立以xy坐标面上的曲线C:f(x,y)=0为准线，平行于z轴的直线L为母线的柱面方程.f(x,y)=0在空间表示以xy坐标面上的曲线为准线，平行于z轴的直线为母线的柱面.类似地，不含变量x的方程f(y,z)=0平行于x轴的直线为母线的柱面.在空间表示以yz坐标面上的曲线为准线，而不含变量y的方程f(x,z)=0在空间表示以xz坐标面上的曲线为准线，平行于y轴的直线为母线的柱面.例如方程在空间表示以xy坐标面上的圆为准线、平行于z轴的直线为母线的柱面.称为圆柱面xyzO方程y=x2在空间表示以xy坐

4、标面上的抛物线为准线、平行于z轴的直线为母线的柱面.称为抛物柱面.xyzO平行于y轴的直线为母线的柱面,方程在空间表示以xz坐标面上的椭圆为准线，称为椭圆柱面.xyzO2绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程.现在来建立yz面上曲线C:f(y,z)=0设M(x,y,z)为旋转曲面上任意一点，过点M作平面垂直于z轴，交z轴于点P(0,0,z)，交曲线C于点M0(0,y0,z0).由于点M可以由点M0绕z轴旋转得到，因此有3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程平面曲线C绕同一平面上定直线L旋转所形成的曲面，称为旋转曲面，定直线L称为旋转轴.xyzOMM0PCf(y0,z0)=0所以

5、又因为M0在曲线C上，将①、②代入f(y0,z0)=0，即得旋转曲面方程:同理，曲线C绕y轴旋转成的曲面方程为所以②①yzOMM0PC旋转曲面的形成例2将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求所得旋转曲面方程:(1)yz坐标面上的直线z=ay(a0)，绕z轴.(2)yz坐标面上的抛物线z=ay2(a>0)，绕z轴.(3)xy坐标面上的椭圆分别绕x、y轴.解(1)yz坐标面上的直线z=ay(a0)绕z轴旋转，故z保持不变，将y换成则得即所求旋转曲面方程为表示的曲面称为圆锥面，点O称为圆锥的顶点.(2)yz坐标面上的抛物线z=ay2绕z轴旋转所得的曲面方程为该曲面称为旋转

6、抛物面.其特征是:当a<0时，旋转抛物面的开口向下.一般地，所表示的曲面称为椭圆抛物面。方程xyzO(3)xy坐标面上的椭圆绕x轴旋转，故x保持不变，而将y换成得旋转曲面的方程为该曲面称为旋转椭球面.类似地，该椭圆绕y轴旋转而得的旋转椭球面的方程为一般地，方程所表示的曲面称为椭球面.其特征是:用坐标面或平行于坐标面的平面x=m，y=n，z=h(a

7、曲线?三、空间曲线的方程z=3是平行于xy坐标面的平面，因而它们的交线是在平面z=3上的圆.(1)因为x2+y2+z2=25是球心在原点，半径为5的球面，解xyzO因而它们的交线是在xy坐标面上的圆z=0是xy坐标面，(2)因为第一个方程所表示的球面与(1)相同，若把(2)写成同解方程组它表示母线平行于z轴的圆柱面与xy坐标面的交线.这样更清楚地看出它是xy坐标面上的圆xyzOt为参数.2.空间曲线的参数方程空间曲线上动点M的坐标x，y，z也可以用另一个变量t的函数来表示，即形如上的方程组称为曲线的参数方程，则从P0到P所转过的角=t，质点在