《无穷限广义积分》PPT课件

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1、第七章讨论的定积分，都是在有限区间上的有界函数这类积分属于通常意义下的积分.的积分，但在实际问题中，还会遇到积分区间为无限或被积函数在积分区间上是无界的情况，这就需将定积分的概念推广，推广后的积分被称为广义积分.常义积分积分限有限被积函数有界推广无穷限的广义积分无界函数的广义积分第一节无穷限广义积分二、无穷限积分的判别法一、无穷限积分的定义一、无穷限积分的定义引例曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为若存在,则称此极限为f(x)的无穷限广义积分,记作这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若则定义定义11.

2、1设则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该广义积分发散.例1解思考:分析:原积分发散!注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例解例2解例3解无穷积分的基本运算性质其它类型的无穷积分的情形类似于此.二、无穷积分敛散性的判别法定理11.1(柯西收敛原理)广义积分收敛当且仅当对任给的存在A>0,当A’，A”>A时，有定理11.2若广义积分收敛，且在任意有限区间可积，则收敛。定理证定理（比较判别法）证定理（比较判别法的极限

3、形式法）读者不妨自己用比较判别法的极限形式进行判别.例4解定理（柯西极限判别法）证例5解例6解例7解下面介绍两个有关函数乘积的无穷积分敛散性的判别法定理（阿贝尔判别法）有关证明请参看《微积分学教程》第二卷第三分册Г.M.菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社1954.定理（狄利克雷判别法）有关证明请参看《微积分学教程》第二卷第三分册Г.M.菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社1954.例8解4.无穷积分的绝对收敛性定理证定理（柯西判别法）该定理的证明请读者自己完成.例9解