环境数学多元线性回归(part1理论)

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1、多元线性回归分析理论&应用小组成员：徐芬芬、陈鸿俊、肖遥、陈撼、罗昊主要内容多元线性回归模型的一般形式多元线性回归方程的建立（OLS估计）回归模型的检验逐步回归分析多元线性回归的注意事项多元线性回归模型1问题的提出解析形式矩阵形式1.1问题的提出现实生活中引起被解释变量变化的因素并非仅只一个解释变量，可能有很多个解释变量。例如，大气中的TSP浓度往往受各种要素——污染源排放量、当时的气温、湿度、风速等的影响。所以在一元线性模型的基础上，提出多元线性模型——解释变量个数≥21.2多元线性回归模型表示方法多元回归模型:含两个以上解释变量的回归模型。多元线性回归模型:表示一个

2、应变量与多个解释变量之间线性关系的回归模型。多元线性回归模型一般形式为：1.3多元线性回归模型的假设解释变量Xi是确定性变量，不是随机变量；解释变量之间互不相关，即无多重共线性。随机误差项服从0均值、同方差的正态分布随机误差项不存在序列相关关系随机误差项与解释变量之间不相关1.4多元模型的解析表达式1.5多元模型的矩阵表达式多元线性回归方程的建立22.1参数值估计2.2参数估计量的性质2.3偏回归系数的含义2.4样本容量问题问题的提出在环境中，某一污染物的形成因素是多种多样的。为了找到他们的定量关系，我们可以根据最小二乘法（OLS）找到他们的最佳线性关系式：最小二乘法原

3、则实际检测数据点()与配合直线的估值（）的偏差总和为最小的原则下，确定方程中回归数。即：2.1参数值估计(OLS)2.1参数值估计(OLS)得到下列方程组求参数估计值的实质是求一个k+1元方程组2.1参数值估计(OLS)变成矩阵形式2.1参数值估计(OLS)2.1参数值估计(OLS)最小二乘法的矩阵表示2.2OLS估计量的性质（1）线性（估计量都是被解释变量观测值的线性组合）（2）无偏性（估计量的数学期望=被估计的真值）（3）有效性（估计量的方差是所有线性无偏估计中最小的）2.2OLS估计量的性质回归线的性质：2.2OLS估计量的性质2.3偏回归系数的意义2.4样本容量

4、问题样本是一个重要的实际问题，模型依赖于实际样本。获取样本需要成本，企图通过样本容量的确定减轻收集数据的困难。最小样本容量：满足基本要求的样本容量2.4样本容量问题最小样本容量n≥k+1(X`X)-1存在

5、X`X

6、0X`X为k+1阶的满秩阵R(AB)≤min(R(A),R(B))R(X)≥k+1因此，必须有n≥k+12.4样本容量问题满足基本要求的样本容量一般经验认为：n≥30或者n≥3(k+1)才能满足模型估计的基本要求。n≥3(k+1)时，t分布才稳定，检验才较为有效。多元线性回归模型的检验33.1拟合优度检验3.2回归方程的显著性检验（F－检验）3.3回归参数

7、的显著性检验（F－检验）3.4拟合优度、F－检验的关系3.1.1拟合优度检验－总平方和、自由度的分解目的：构造一个不含单位，可以相互比较，而且能直观判断拟合优劣的指标。类似于一元情形，先将多元线性回归作如下平方和分解：总离差平方和(TSS)＝回归平方和(RSS)+残差平方和(ESS)自由度：n-1＝k+n-k-1分解说明：，受k+1个方程对n个Yi约束，所以自由度为n-(k+1)=n-k-1，RSS=TSS-ESS，所以其自由度为k。3.1.1拟合优度检验－总平方和、自由度的分解3.1.2判定系数判定系数的定义：意义：判定系数越大，自变量对因变量的解释程度越高，自变

8、量引起的变动占总变动的百分比高。观察点在回归直线附近越密集。取值范围：0-1复相关系数R它与一元线性回归方程的单相关系数类似，用来衡量一个变量与多个变量的复相关程度。3.1.2判定系数3.2回归方程的显著性检验检验的目的检验Y与解释变量x1,x2,…xk之间的线性关系是否显著。3.2回归方程的显著性检验检验的步骤第一步，提出假设：原假设：H0：b1=b2=……bk=0备择假设：H1：bi不全为0（i=1，２，…，k）第二步，计算统计量：或：3.2回归方程的显著性检验第三步，查表，得：第四步，做检验：拒绝H0，回归方程显著接受H0，回归方程不显著检验法则3.3回归系数的显

9、著性检验回归方程显著，并不意味着每个解释变量对因变量Y的影响都重要,因此需要进行检验：回归系数检验的必要性回归方程显著每个回归系数都显著回归系数检验的步骤第一步，提出假设：原假设：H0：bi=0(i=1，2，……k)备择假设：H1：bi≠0(i=1，2，……k)3.3回归系数的显著性检验第二步，构造并计算统计量：bi为偏回归系数Cij为正规方程组矩阵XTX的逆矩阵(XTX)-1的第i行第j列元素ESS为残差平方和第三步，查表得：3.3回归系数的显著性检验第四步，做检验：接受H0，回归系数影响显著拒绝H0，回归系数影响不显著检验法则3.4关