状态能观性的定义

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1、2.5.5状态能观性的定义对线性系统而言,状态能观性只与系统的输出y(t),以及系统矩阵A和输出矩阵C有关,与系统的输入u(t)和输入矩阵B无关,即讨论状态能观性时,只需考虑系统的自由运动即可。上述结论可证明如下:对线性定常系统(A,B,C),其状态和输出的解分别为与能观性等价因为矩阵A,B,C和输入u(t)均已知,故上式的右边第二项可以计算出来,也是已知项。故可以定义如下辅助输出:研究状态能观性问题,即为上式对任意的初始状态x(t0)能否由辅助输出y-(t)来唯一确定的问题。所以线性系统状态能

2、观性仅与输出y(t),以及系统矩阵A和输出矩阵C有关,与输入矩阵B和输入u(t)无关。也就是说,分析线性系统的能观性时,只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。因此,我们有如下线性系统状态能观性的定义。对线性连续系统,我们有如下状态能观性定义。定义若线性连续系统对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0),存在另一有限时刻t1(t1>t0,t1T),根据在有限时间区间[t0,t1]内量测到的输出y(t),能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0),则称在t0时刻的状态x(t0

3、)能观;若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能观,则称系统在t0时刻状态完全能观;若系统在所有时刻状态完全能观,则称系统状态完全能观,简称为系统能观。即,若逻辑关系式为真,则称系统状态完全能观。若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能观的,简称系统为状态不能观。对上述状态能观性的定义有如下注记。1.对于线性定常系统,由于系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)都为常数矩阵,与时间无关,因此不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能观”,而为“某一时刻状态完全能观,则系统状态完全能观”。

4、即,若逻辑关系式为真,则称线性定常连续系统(A,C)状态完全能观。2.上述定义中的输出观测时间为[t0,t1],并要求t1>t0。这是因为,输出变量y(t)的维数m一般总是小于状态变量x(t)的维数n。否则,若m=n且输出矩阵C(t)可逆,则x(t)=C-1(t)y(t)即状态变量x(t)可直接由输出y(t)确定。由于m

5、便可根据状态方程的解表达式,由初始状态和输入,计算出系统各时刻的状态值。2.5.6线性定常连续系统的状态能观性判据线性定常连续系统的状态能观性判据有许多不同形式,下面分别讨论代数判据和模态判据。1.代数判据定理(线性定常离散系统能控性秩判据)线性定常连续系统(A,C)状态完全能观的充要条件为下述条件成立:如下定义的能观性矩阵满秩,即rankQo=n比较一下能控性矩阵例试判断如下系统的状态能观性解由状态能观性的代数判据有而系统的状态变量的维数n=2,所以系统状态不完全能观。2.模态判据在给出线性定

6、常连续系统的状态能观性模态判据之前,先讨论状态能观性的如下性质:线性定常系统经线性变换后状态能观性保持不变。因此系统的状态能观性等价于(A,C)的状态能观性,即线性变换不改变状态能观性。基于上述结论,可利用线性变换将一般状态空间模型变换成约旦规范形(对角线规范形为其特例),通过分析约旦规范形的能观性来分析原状态空间模型的能观性。下面讨论线性定常连续系统约旦规范形的状态能观性模态判据。定理1设系统具有两两相异的特征值，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经过相似变换后的对角规范型中，不包含元素

7、全为0的列。定理2设系统具有相重的特征值，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经过相似变换后的约当规范型中，与每个约当块的首行相应的列元素不全为0。祥见课本P119对定理作两点说明:状态能观性模态判据讨论的是约旦规范形。若系统的状态空间模型不为约旦规范形,则可根据线性变换不改变状态能观性的性质,先将状态空间模型变换成约旦规范形,然后再利用定理来判别状态能观性;定理不仅可判别出状态能观性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一状态不能观。这对于进行系统分析、状态观测器和反馈校正

8、是非常有帮助的。例试判断如下系统的状态能观性。解由定理可知,A为特征值互异的对角线矩阵,但C中的第2列全为零,故该系统的状态x2不能观,则系统状态不完全能观。状态空间x1-x2不完全能观状态变量x1完全能观状态变量x2完全不能观解由于A为每个特征值都只有一个约旦块,且对应于各约旦块的C的分块的第一列都不全为零,故系统状态完全能观。以上定理所给出的状态能观性的模态判据在应用时需将一般的状态空间模型变换成约旦规范形,属于一种间接方法。下面我们给出另一种形式的状态能观性模态判据,称为PB