《换元与分部积分法》PPT课件

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1、§5.2内容回顾变限积分的求导:机动目录上页下页返回结束一般地:Ｎ－Ｌ公式:设F(x)是连续函数f(x)的其一个原函数,则(微积分基本公式)设f(x)是连续函数,则二、定积分的分部积分法不定积分机动目录上页下页返回结束一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法§5.3定积分的换元法和分部积分法第五章一、定积分的换元法定理1.设函数单值函数满足:1)2)在上证:因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则机动目录上页下页返回结束则所证等式两边被积函数都连续,说明:1)当a>b时,或<时,定理

2、1仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或凑微分凑微分不换限机动目录上页下页返回结束4)换元标准与对应的不定积分一般情况下是一致的.例1.计算解:令则∴原式=机动目录上页下页返回结束0例2.计算解:原式=机动目录上页下页返回结束例3.计算解:令则原式=机动目录上页下页返回结束另解:[]例4.证:(1)若(2)若偶倍奇零机动目录上页下页返回结束例5.解:令则原式=机动目录上页下页返回结束计算=…注:在x=0点的定义为零,而非1/2.3.改变被积函数在有限个点处的函数值,不改变积分值1

3、.f(x-2)在[1,4]上的x=2处不连续2.类似的题目均可按上述格式做.机动目录上页下页返回结束例6.．设f(x)在[0,1]上连续,证明:并计算证:(1)令0(2)令0机动目录上页下页返回结束所以二、定积分的分部积分法定理2.则证:上、下限为x的范围注:分部的标准与对应的不定积分一般情况下是一致的.例7.计算解:原式=机动目录上页下页返回结束例8.计算解:令机动目录上页下页返回结束原式=例9.证明证:令n为偶数n为奇数则机动目录上页下页返回结束转下页由此得递推公式于是而故所证结论成立.机动目录上页下页返回结束n为偶数n为奇

4、数机动目录上页下页返回结束变限定积分问题!应充分注意变限定积分的问题,它在考研试题中出现的频率非常高,它涉及到极限、无穷小的阶、求导、单调性与极值、不等式等.1.设f(x)连续,且f(0)≠0,求极限解:令x－t=u，则(05年数二11分)机动目录上页下页返回结束则原式=（利用定积分中值定理)(不能再用洛必达法则)(ξ介于0与x之间)机动目录上页下页返回结束则原式=机动目录上页下页返回结束2.提示:令则f(x)连续令x√作业P2531(4),(10),(16);3;7(4),(9),(10)习题课目录上页下页返回结束备用题求解:

5、(分部积分)机动目录上页下页返回结束1.设机动目录上页下页返回结束2.a>0,证明:证:令左边=(向右边靠拢)仅证:令所以…3.求下列积分(且不易求出原函数时,负代换试)(且不易求出原函数时,令x=a－t试）积分区间为对称区间时积分区间为[0,a]时如P245例6及P25011(13)P2657(2)及P26614(1)