《损失分布》PPT课件

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1、第二章损失分布2.1研究损失分布的数学工具2.1.1随机变量及其分布随机变量：取值依赖于随机现象基本结果的变量，称为随机变量，常用X、Y、Z等大写字母表示。Example：我们可以用X表示一个风险单位在一次事故中的损失，用N表示同类合同在保险期限内发生的保险事故次数等等。这里X、N都是随机变量。分布函数：随机变量X取值不超过实数x的概率，称为随机变量X的分布函数，记作F（x）=P(X≤x)，x∈R.分布函数的性质：对任意x∈R，0≤F（x）≤1；F（－∞）=F(x)=0;F(＋∞)=F(x)=1;F(x)单

2、调不减，即：对任意x1、x2∈R,且x1a)=1－F(a).损失不超过b(b>a)且保险公司承担保险责任的概率:P(a

3、(x,y)=P(X≤x）F(y)=F(x,y)=P(Y≤y)独立：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y),两个边际分布函数分别为F(x)和F(y),若对任意(x,y)∈R,都有F(x,y)=F(x)·F(y),则称随机变量X与Y互相独立。离散型随机变量和连续型随机变量离散型随机变量：只能取有限个值或可列个值的随机变量。Example:保险期限内，保险标的发生保险事故的次数：N=0、1、2、…可用分布列、分布函数描述连续型随机变量：取值布满某个区间，并且有密度函数的随机变量。Example:在非

4、寿险精算中，一次事故的损失额或者保险期限内的全部损失额X的取值范围是一个区间（0，+∞）。可用密度函数、分布函数描述随机变量的数字特征数学期望：描述随机变量的平均取值离散型随机变量的数学期望，离散型随机变量函数的数学期望连续型随机变量的数学期望，连续型随机变量函数的数学期望数学期望的特征数学方差、标准差、变异系数Example1:（二点分布）设同类保单在保险期限内只有索赔和不索赔两种情况，根据以往经验，索赔的概率为p，那么，任意一份保单在保险期限内的索赔次数X就是取值为0、1的离散型随机变量，其分布列为P(

5、X=x)=p^x(1－p)^(1-x),x=0、1.求其分布函数，期望，方差？Example2:（均匀分布）如果某类保单的免赔额为a,保险金额为b(0

6、2VarX;(5)VarX=EX2－(EX)2;(6)若X与Y相互独立，那么，Var(X+Y)=VarX+VarY.随机变量的矩原点矩：随机变量X的k次幂的数学期望=EXk为随机变量X的k阶原点矩。中心矩：称X－EX的k次幂的数学期望=E(X－EX)k为随机变量X的k阶中心矩，k=1、2、…。偏度系数：分布的对称性的度量，也就是偏斜程度。=分布对称时，偏度等于0。偏度大于0时，正偏斜的；偏度小于0时，负偏斜。对一般非寿险业务的大多数险种来说，因为有大额赔款的发生，所以赔款额的分布常有明显的正偏斜。随机变量的

7、特征函数与矩母函数设X是一个随机变量，i是虚数单位，分别称关于t的函数=Ee,t∈R和M(t)=Ee为X的特征函数和矩母函数特征函数一定存在，与分布函数一一对应矩母函数的性质条件分布、条件期望和条件方差两个重要性质：EX=E[E（X

8、Y）]VarX=E[Var（X

9、Y）]+Var[E（X

10、Y）]相互独立随机变量和的分布与卷积2.2损失的理论分布正态分布正态分布的密度函数f(x)=e,x∈R。正态分布密度函数曲线的特点关于直线x=对称;当x<时,f(x)单调增加，反之，f(x)单调减少;当x=时,f(x)有极

11、大值.标准正态分布、标准正态分布表中心极限定理赔款额的理论分布非寿险精算中的赔款额X：非负连续型随机变量，它的分布一般是正偏斜，它的密度函数在右边有长的“尾巴”。常用来表示赔款额的理论分布有：对数正态分布,log-normaldistribution帕累托分布,Paretodistribution伽玛分布,Gammadistribution对数正态分布若随机变量X的对数函数Y=lnX~N(),则称X服从以为参数的