流体的平衡流体力学

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1、专题篇C1.流体的平衡C2.不可压缩无粘性流体平面势流C3.不可压缩粘性流体内流C4.不可压缩粘性流体外流C5.可压缩流体流动基础C1流体的平衡C1流体的平衡C1.1引言(工程背景)C1.2流体平衡微分方程C1.2.1欧拉平衡方程由N-S方程可得欧拉平衡方程常数时，直接求解，联立求解压强分布体积力压强梯度00C1.2.1欧拉平衡方程(2-1)u=v=w=0，对静止流体C1.2.1欧拉平衡方程(2-2)由欧拉平衡方程称为压强全微分式，表示体积力在任何方向的投影为该方向的压强增量。设密度分别为ρ1和ρ2的两种互不

2、相混的液体放在同一容器中，试证明当它们处于平衡状态时其分界面必为等压面。[例C1.2.2]两种液体的分界面：等压面解：在分界面上任取相邻dr的两点A和B，dp=pA-pB。对液体1dp=ρ1(fxdx+fydy+fzdz)dp=ρ2(fxdx+fydy+fzdz)对液体2两式分别除以ρ1和ρ2，再相减可得由于ρ1≠ρ2，要使上式成立,只有dp=0，证明分界面必为等压面。讨论：当容器以恒角速度绕中轴旋转，两种液体均处于相对平衡状态时其分界面也是等压面。ABC1.2.2等压面沿等压面压强增量为零，即。或称为等压面

3、微分方程式，上式表明体积力处处与等压面垂直。静止流体中等压面为水平面;绕垂直轴旋转的流体中，等压面为旋转抛物面。C1.2.2等压面C1.2.3流体平衡的条件即体积力必须有势：为势函数上式成立的充分必要条件是对均质流体，ρ=常数,压强全微分式化为重力是有势力因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。C1.2.3流体平衡的条件(2-1)C1.2.3流体平衡的条件(2-2)对正压流体，ρ=ρ(p)引入一个压强函数上式成立的充要条件也是体积力必须有势。因此正压流体在重力场中也能保持平衡状态。3.对斜压流体ρ=ρ(p，T)

4、，可以证明不能在重力场中保持平衡。如赤道和极地的大气，大范围的海水等。均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）在平衡时，等压面、等势面、等密度面三者重合：[例C1.2.3]贸易风：流体平衡条件大气满足完全气体状态方程p=RρT(B1.4.5)差悬殊，由（B1.4.5）式相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合(见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相形成在

5、赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南吹的风称为贸易风。用于静止流体上式适用于全流场，表示总势能守恒。若写成表示总水头保持不变。(a),(b)式均称为流体静力学基本方程。适用条件：连通的同种均质重力流体。将伯努利方程C1.3流体静力学基本方程(a)(b)C1.3流体静力学基本方程(2-1)流体静力学基本方程的常用形式为说明两点的测压管水头相等。C1.3流体静力学基本方程(2-2)当保持不变时，改变引起同时改变，这就是帕斯卡原理.C

6、1.4均质液体相对平衡当液体以等加速度a作直线运动或以等角速度（向心加速度)旋转并达到稳定时，液体象刚体一样运动，N-S方程fg为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同，f=fg–a也是有势力。符合平衡条件，称为液体的相对平衡。C1.4.1等加速直线运动设液体以等加速度a沿水平方向作直线运动体积力分量fx=-a,fy=0,fz=-gC1.4均质液体相对平衡(3-1)C1.4.1等加速直线运动(3-2)由压强全微分式积分得压强分布式设坐标原点在液罐底部中点，静止时的液位为z0,即x=0，z=z0，p=p0,，可得C=

7、p0+ρgz0压强分布式为压强分布C1.4.1等加速直线运动(3-3)由dp=－ρ(adx+gdz)=0，等压面方程为C不同时得一簇平行斜平面，自由液面(x=0,z=z0)上C=gz0。设自由液面垂直坐标为zs，方程为等压面ax+gz=C或代入压强分布式，令h=zs－z，可得证明在垂直方向压强分布规律与静止液体一样。[例C1.4.1]匀加速直线运动液体的相对平衡(2-1)已知:用汽车搬运一玻璃缸。缸长×宽×高=L×b×h=0.6×0.3×0.5m3，静止时缸内水位高d=0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。

8、求:(1)为不让水溢出，应控制的汽车最大加速度am；解：建立坐标系oxz如图示。设鱼缸加速度为a，体积力分量为等压面微分方程为(2)若鱼缸横向放置时的最大加速度am'。fx=-a，fz=-gax+gz=C液面中点的坐标为（0,d），C=gd。液面方程为ax+gz=gd[例C1.4.1]匀加速直线运动液体的相对平衡(2-2)加速度表达式为(2)当鱼缸横向放置时，与后壁最高液位（－b/2,h）相应的加速