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1、二、微分的几何意义一、微分的概念§2.5函数的微分三、微分的运算法则四、微分在近似计算中的应用一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到边长由其的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导
2、,则注:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当例1求函数yx2在x1和x3处的微分dy(x2)
3、x1Dx2Dx函数yx2在x3处的微分为dy(x2)
4、x3Dx6Dx例2求函数yx3当x2Dx002时的微分yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy=f(x0)Dx解函数yx2在x1处的微分为解先求函数在任意点x的微分dy(x3)Dx3x2Dx再求函数当x2Dx002时的微分dy
5、x=2,Dx=0.02=3220.02=0.24=3x2
6、x=2,Dx=0.02当
7、Dx
8、很小时
9、
10、Dydy
11、比
12、Dx
13、小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段Dy是曲线上点的纵坐标的增量;dy是过点(x0f(x0))的切线上点的纵坐标的增量.当x从x0变到x0+Dx时二、微分的几何意义则有从而导数也叫作微商自变量的微分,记作记d(xm)mxm1dxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdxd(tanx)sec2xdxd(cotx)csc2xdxd(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadxd(ex)exdx(xm)mxm1(sinx)cosx(cosx)
14、sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx(ax)axlna(ex)ex微分公式:导数公式:1.基本初等函数的微分公式三、微分的基本公式和运算法则微分公式:导数公式:2、微分的四则运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式不变3.复合函数的微分则复合函数在求复合函数的导数时可以不写出中间变量例3ysin(2x1)求dy2cos(2x1)dxcos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sinu)cosud
15、u若yf(u)uj(x)则dyf(u)du解把2x1看成中间变量u则例4解例5.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例6.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.四、微分在近似计算中的应用1.函数的近似计算当很小时,使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得的近似值.解:设取则例7.求的近似值.解:例8.计算例9.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要
16、镀上一层铜,厚度定为0.01cm,2.误差估计某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量A的绝对误差限称为测量A的相对误差限误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,例10.设测得圆钢截面的直径测量D的绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算A的绝对误差限约为A的相对误差限约为试估计面积的误差.计算(mm)练习1.4.设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求作业:p-P123习题2-43(4),(7),(8),(9),;4;8(1);9(2)