《微分的几何意义》PPT课件

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1、二、微分的几何意义一、微分的概念§2.5函数的微分三、微分的运算法则四、微分在近似计算中的应用一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到边长由其的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导

2、,则注:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当例1求函数yx2在x1和x3处的微分dy(x2)

3、x1Dx2Dx函数yx2在x3处的微分为dy(x2)

4、x3Dx6Dx例2求函数yx3当x2Dx002时的微分yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy=f(x0)Dx解函数yx2在x1处的微分为解先求函数在任意点x的微分dy(x3)Dx3x2Dx再求函数当x2Dx002时的微分dy

5、x=2,Dx=0.02=3220.02=0.24=3x2

6、x=2,Dx=0.02当

7、Dx

8、很小时

9、

10、Dydy

11、比

12、Dx

13、小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段Dy是曲线上点的纵坐标的增量;dy是过点(x0f(x0))的切线上点的纵坐标的增量.当x从x0变到x0+Dx时二、微分的几何意义则有从而导数也叫作微商自变量的微分,记作记d(xm)mxm1dxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdxd(tanx)sec2xdxd(cotx)csc2xdxd(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadxd(ex)exdx(xm)mxm1(sinx)cosx(cosx)

14、sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx(ax)axlna(ex)ex微分公式:导数公式:1.基本初等函数的微分公式三、微分的基本公式和运算法则微分公式:导数公式:2、微分的四则运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式不变3.复合函数的微分则复合函数在求复合函数的导数时可以不写出中间变量例3ysin(2x1)求dy2cos(2x1)dxcos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sinu)cosud

15、u若yf(u)uj(x)则dyf(u)du解把2x1看成中间变量u则例4解例5.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例6.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.四、微分在近似计算中的应用1.函数的近似计算当很小时,使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得的近似值.解:设取则例7.求的近似值.解:例8.计算例9.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要

16、镀上一层铜,厚度定为0.01cm,2.误差估计某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量A的绝对误差限称为测量A的相对误差限误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,例10.设测得圆钢截面的直径测量D的绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算A的绝对误差限约为A的相对误差限约为试估计面积的误差.计算(mm)练习1.4.设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求作业：p-P123习题2-43(4),(7),(8),(9),;4;8(1);9(2)