《微分方程讲》PPT课件

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1、微分方程第六章—积分问题—微分方程问题推广微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的

2、方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(所讲内容)(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.可分离变量方程一阶线性微分方程标准形式若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.称为齐次方程;可降阶的二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程常见的微分方程类型用Matlab求解微分方程

3、用Matlab符号工具箱中的函数dsolve,可求解微分方程，其调用格式如下：R=dsolve(‘eq1,eq2,…’,’cond1,cond2,…’,’v’)R=dsolve(‘eq1’,’eq2’,…,’cond1’,’cond2’,…,’v’)说明：求微分方程或微分方程组eq1,eq2,…满足初始条件cond1,cond2,…关于自变量v的解。默认的自变量为t例1求微分方程的通解。Dsolve(‘5*D2y-6*Dy+5*y=exp(x)’,‘x’)例2求微分方程组的解。x=cos(t)*C1+sin(t)*C2y=-sin(t)*C1+cos(t)*C2例3有一弹性系数c=8N/m的弹

4、簧，上挂有质量为2kg的物体，一外力f(t)=16cos4tN作用在物体上，假定物体原来在平衡位置，有向上的初速度2m/s，如果阻力忽略不计，求物体的运动规律s(t).解第一步建立微分方程：有力学知识，得物体的运动方程为即初始条件为第二步求解：>>s=dsolve('D2y+4*y=8*cos(4*t)','y(0)=0,Dy(0)=-2')s=(sin(2*t)+1/3*sin(6*t))*sin(2*t)+(1/3*cos(6*t)-cos(2*t))*cos(2*t)-sin(2*t)+2/3*cos(2*t)第三步化简：上述结果较复杂，可用simple函数化简>>simple(s)an

5、s=-2/3*cos(4*t)-sin(2*t)+2/3*cos(2*t)故所求物体的运动规律为Q&祝大家：学有所成谢谢！