《微分方程》PPT课件(I)

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1、数学建模微分方程模型微分方程模型一微分方程模型二微分方程模型稳定性www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地微分方程模型一微分方程模型www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。模型的使用背景微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就需要求解微分方程。微分方程建模是数学建模的重要方法，在科技工程，经济管理，生态环境，人口，交通等领域中有着广泛的应用。www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地微分方程模型的建立方法根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等

2、学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地微分方程模型的建立方法模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地案例分析缉私问题一艘缉私舰雷达发现距ckm处

3、有一艘走私船正以匀速akm/min沿直线行驶。缉私舰立即以最大的速度bkm/min追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地缉私问题模型建立建立如右坐标系，缉私船在(c,0)处发现走私船在(0,0)处，走私船逃跑方向为y轴方向。在t时刻，走私船到达R(0,at)，缉私舰到达D(x,y)www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地缉私问题根据题意有如下关系式化简得：又因，s为弧长（1）（2）www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地将（2）代入（1）得：模型求解：1)求解析解（1）当

4、，缉私问题www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地当x=0时，缉私问题www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地c=3km，a=0.4(km/min)，分别取b=0.6,0.8,1.2(km/min)，缉私艇追赶路线图形如下：缉私问题www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地（2）当，缉私艇不可能追赶上走私船2）求数值解假设a=60公里/小时，b=80公里/小时，c=500公里用MATLAB软件编程求数值解1.zhuiji.mfunctionf=zhuiji(x,y)%建立微分方程组函数，函数名为'zhuiji'f=[y(2);0.75*sqrt(1-y(2)^2)/

5、x];缉私问题www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地2.zhui.m[x,y]=ode23('zhuiji',[500,1],[0,0]);%调用ode23求解器求解方程组plot(x,y(:,1))%画出图形运行结果如右图：缉私问题www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地人口增长模型据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今却不足200万年.纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿.经过漫长的过程到1830年，人口总数达10亿，又经过100年，在1930年，人口总数达20亿；30年之后，在1960年，人口总数为30亿

6、；又经过15年，1975年的人口总数是40亿，12年之后即1987年，人口已达50亿.我们自然会产生这样一个问题：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律.www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地英国人口学家Malthus模型假设人口自然增长率r为常数即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比。模型建立1.指数增长模型人口以几何级数增加！人口增长模型www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地模型分析人口将按指数规律无限增长！人口将始终保持不变！人口将按指数规律减少直至绝灭！模型求解人口增长模型www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地Malthus模型预测美

7、国人口www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地Malthus模型预测美国人口www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地Malthus模型预测的优缺点优点短期预报比较准确缺点不适合中长期预报原因预报时假设人口增长率r为常数。没有考虑环境对人口增长的制约作用。www.shumo.cn华中农业大学数学建模基地2.阻滞增长模型假设人口增长率r(t)是t时刻人口x(t)的减函数：其中，xm为考虑到受自然资源和环境条件限制所能容纳