《平面图形的面积》PPT课件

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1、二、平面图形的面积一、定积分的元素法三、微元法求体积四、平面曲线的弧长第五节定积分在几何上的应用本节重点：１定积分的元素法２直角坐标系下求面积３极坐标系下求面积４微元法求旋转体的体积５微元法求平面曲线的弧长本节难点：定积分的元素法返回一、定积分的元素法设f(x)在区间［a,b］上连续且,求以曲线y=f(x)为曲边，以［a,b］为底的曲边梯形的面积Ａ，这个面积Ａ可表示为定积分：其步骤为：（1）分割：用任意一组分点把区间［a,b］分成长度为xi(i=1,2,…,n)的n个子区间［xi-1,xi］,相应地把曲边梯形分成n个

2、窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积设为,于是有（2）取近似值：第i个窄曲边梯形的面积近似等于以为底、以为高的窄矩形面积，即（3）求和：则曲边梯形的面积A近似等于n个窄矩形面积的和，即（4）取极限：为计算简便，可将上述四步简化为两步：以代替区间上的任意一个子区间,以的左端点x代替,以dx代替,于是上对应的窄矩形面积可表示为,即称为面积元素（或面积微元），记为dA.(2)以为被积表达式，在区间上作定积分，得这种方法通常叫做元素法（或微元法）.返回下面我们将用这个方法讨论平面图形的面积及立体的体积二、平面图形的面积1.直角

3、坐标情况(1)   设由曲线直线围成平面图形(图5-1)，其面积元素于是图5-1（2）设由曲线及直线围成的平面图形（图5-2），其面积元素为，于是图5-2（3）设由曲线及直线围成的平面图形（图5-3），其面积元素为，于是图5-3例1计算由两条抛物线和所围成的图形的面积。解法一画出图形（图5-4）联立两曲线方程得交点选择横坐标x为积分变量,.对应于子区间上的小矩形面积为,（1，1）图5-4解法二选择纵坐标y为积分变量，。对应于上的小矩形面积为，即面积元素于是即面积元素于是例2求由抛物线及直线所围成的平面图形的面积.（如

4、图5-5）解由联立方程得交点.选择y为积分变量，.在上任取子区间，其上相应小矩形面积为于是图5-5（8，4）-24（2，-2）8若选择x为积分变量，.但当子区间取在中时，面积元素为；而当子区间取在中时，面积元素为（2，-2）因此积分区间需分成和两部分，即所给图形由直线x=2分成两部分及，（如图5-6）（8，4）图5-6显然，比较两种算法可见，取y为积分变量要简单得多。因此，对具体问题应选择积分简便的算法。返回则有2.极坐标情形某些平面图形，用极坐标计算他们的面积比较简便.由曲线与两射线所围成的图形（如图5-7），称为

5、曲边扇形。下面用元素法求它的面积A.用从原点O出发的射线将曲边扇形分割成小曲边扇形，相应于上的小曲边扇形的面积近似等于以为半径，为圆心角的扇形面积，即面积元素于是图5-7例3求心形线所围成平面图形的面积A。解：由图形（如图5-8）的对称性可得===返回图5-8三、用微元法求体积1平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的平面可求，则该物体可用微法求体积.不妨设上述直线为x轴，则在x处的截面积A(x)是x的已知连续函数,求该物体介于x=a和x=b（a

6、变，即把［x,x+dx］上的立体薄片近似看作A(x)为底，dx为高的柱体，于是得体积微元于是例1设有底圆半径的Ｒ的圆柱，被一与圆柱面交成角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积。解取坐标系如图5-9，则底圆方程为在x处垂直于x轴做立体截面，得一直角三角形，两条直角边分别为及，即及，其面积为从而得楔形体积为2旋转体的体积(1)由连续曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x轴围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而成的立体叫做旋转体(如图5-10).现在求它的体积V.用垂直于x轴的平行平面将旋转体截成几个小旋转体，所得截痕都是

7、圆。取x为积分变量，x∈[a，b]。在[a，b]内的任一小区间[x，x+dx]上小旋转体的体积近似等于以f(x)为底圆半径，以dx为高的小圆柱体的体积，即得体积微元于是旋转体体积图5-10例4证明底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为。解：如图5-11所示，设圆锥的旋转轴重合于x轴，即圆锥是由直角三角形ABO绕OB旋转而成。直线OA的方程为.取x的积分变量，x∈[0,h],相应于[0,h]上任一小区间[x,x+dx]的薄片的体积近似等于底半径为x,高为dx的圆柱体的体积，图5-11即体积微元为例5．计算由椭圆所围成的圆

8、形绕x轴旋转而成的旋转体（叫旋转椭球体）的体积（如图5-12）。解：这个旋转体可以看成是x轴上方的半个椭圆与x轴围成的图形绕X轴旋转而成的立体。于是，所求圆锥的体积为图5-12取x为积分变量，x[-a,a],则体积元素为：.于是特别当a=b时，旋转椭球体就成为半径为a的球体，它的体积为.(2)由曲线,直线y=c、y=d(c